【無料配信♪】Renta !全タテコミ作品第1話

一様密度で球状の水滴がその表面から蒸発する速度は、その表面積に比例する。このとき、水滴の半径を時間の関数で表せ。


という問題なのですが、蒸発速度が表面積に比例とあるので、
v=dx/dt=k*4πr^2
という常微分方程式をつくって解いたのですが、自信がありません。

どなたか説明してくれると助かります。よろしくお願いします。

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dt 意味」に関するQ&A: d^2r/dt^2の意味

A 回答 (4件)

「蒸発する速度は、その表面積に比例する」という物理現象を


「蒸発による水滴の'質量'の減少速度が水滴の表面積に比例する」と捉え方と
「蒸発による水滴の'半径'の減少速度が水滴の表面積に比例する」というのが
考えられますが、おそらく前者の方が当てっているでしょう。

そう考えて、密度をρ、半径をr、時間をtとすると
-d{ρ・(4πr^3)/3}/dt=k・(4πr^2)
-ρ・(4πr^2)・(dr/dt)=k・(4πr^2)
-ρ・(dr/dt)=k
-ρ・∫[R~r]dr=∫[0~t]k・dt (R:水滴のt=0における半径)
-ρ・(r-R)=k・t

∴ r=R-(k・t/ρ)
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この回答へのお礼

質問曖昧でご迷惑おかけしました;;

ここでは前者の意味です。
計算過程まで記述していただき、大変わかりやすく理解できました。

ありがとうございました^^

お礼日時:2008/09/29 11:18

物理というのは公式を鵜呑みにするのではなく、その物理的な過程を現象に即して理解することが大切なことです。


「水滴が蒸発する速度」とは何ですか。蒸発する速度というのは、普通、物理的に考えて質量の減ずる速さをいうのではないでしょうか。このことは、物理的なセンスに関わることですので、私がこれ以上申し上げることは控えておきましょう。でも、
r=1/(1/r0+4πkt)
となることは物理的におかしいというセンスは必要ですね。
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この回答へのお礼

私は、蒸発速度というものがどういった物理的意味をもつのかよく考えていないまま、質問をしていました。
蒸発速度は、ここでいう水滴の質量の減少速度だということがわかりました。符号の意味などもわかりました。
わかりやすい回答ありがとうございました^^

お礼日時:2008/09/29 11:15

>v=dx/dt=k*4πr^2



 水滴の半径をrとしているのですよね。
 だとすれば、dx/dtをdr/dtと書き直し、蒸発することはdr/dtが負の方向なので「-」を書き足せばOKだと思います。

 dr/dt=-4πkr^2

 あとは、t=0のときの水滴の半径が書かれていないので、初期条件としてr0とでもおけば、

 r=1/(1/r0+4πkt)

と求められると思います。
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>>v=dx/dt=k*4πr^2



この式で、vとかxは何ですか?ちょっと意味不明です。
-ρd/dt(4πr^3/3)=k*4πr^2
とした方が分かりやすいと思いますが・・・
d/dt(4πr^3/3)は分かりますよね。合成関数の微分
dV/dt=(dV/dr)(dr/dt)を行えばいいですね。
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だから、「乾燥機の温度が高いほど早く蒸発する」のは確かですが、蒸発潜熱が蒸発速度に与える影響は限られているので、「蒸発速度が温度に比例する」、というのは間違いだと思いますよ。

最初の例の洗濯物の場合は、上の熱収支式がもっと複雑になります。

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その他、洗濯物の場合やより複雑な環境では、空気や風の状態も重要になります。洗濯物表面の湿った空気をどれだけ効率よく乾いた空気に置換できるか、というのが蒸発速度に影響します。

#3です。

まず蒸発潜熱について。100℃以上でも線形としてあらわされるということなので、多分#4さんが正しいと思います。蒸発面での温度を考えないといけないので、例の場合、普通の大気圧下なので水面温度が100℃でストップすると思います。

なお、コップの水が最初15℃として、70℃と90℃と110℃の乾燥機の中にコップを入れると、水は15℃の時点で蒸発を始めます。だから最初は3つの乾燥機で蒸発潜熱は変わりません。3つの乾燥機で水温の上がり具合が変わるので、蒸発潜熱の値も時間と共に変わってきます。...続きを読む


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