No.2ベストアンサー
- 回答日時:
そんなに難しい話ではないです。
とりあえず位置を表す変数xのことは忘れてください。速度vと加速度aの関係
dv/dt=a (1)
を使えば、与えられた方程式は
m(dv/dt)=mg-bv (2)
という、vについての1階微分方程式に帰着します。
これを解く方法はいろいろありますが、例えばv=u+(mg/b)の変数変換を行い新しい変数uについての方程式にすると
m(du/dt)=-bu (3)
となります。これは
du/u=-(b/m)dt (4)
とすれば直ちにlog |u| =(-b/m)t +Cと解かれて(対数の底はe、すなわち自然対数の底2.71828...)
u=C' exp(-bt/m) (5)
を得ます。ご存じかと思いますがexp(x)とはeのx乗、C'は新たな積分定数です。
uをvに戻すにはv=u+(mg/b)ですから
v=C' exp(-bt/m)+(mg/b) (6)
とすればよいわけです。
最後に位置x(t)の関数に直す方法ですが、vをtで積分するだけのことですから
x(t)=C1 exp(-bt/m) +(mg/b)t +C2 (7)
となります。C1、C2は新たな積分定数です。なおC1はC'との間に
C1=C'm/b (8)
の関係があります。C1, C2は初期条件(あるいはそれに代わるもの)で決定されることは申し上げるまでもありません。
余談ですがt→∞(十分時間が経過したとき)を考えると、(6)式は
v=mg/b (9)
となり物体は一定速で運動することが分かります。これは速度に比例する抵抗と重力がつりあっている状態を意味し、物理的な挙動としても理に適うものです。物体の速度は初速がなんであっても時間とともに(9)の一定速に漸近する、ということです。
No.3
- 回答日時:
Umadaさんのを参考に多少計算しやすくするために
f"(t)+(b/m)・f'(t)=g
は
(f'(t)・exp(t・b/m))'=g・exp(t・b/m)
と等価だから
f'(t)・exp(t・b/m)=(g・m/b)・exp(t・b/m)+C
すなわち
f'(t)=(g・m/b)+C・exp(-t・b/m)
この関数の積分はできるでしょうね?
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