
No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 です。
ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。
(3)の式は、(2)において
p = mv (4)
という「運動量」に置き換え、
dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。
ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。
でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。
質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。
なるほど!
確かに周りの雨が静止していのは現実的ではありませんね。
計算も分かりやすく教えていただきありがとうございます。
悩んでいた問題が解けました。
No.3
- 回答日時:
dm/dt=μ (1)
d(mv)/dt=mg (2)
(2)より
mdv/dt+vdm/dt=mg
(1)を代入
mdv/dt+μv=mg
dv/dt+(μ/m)v=g (3)
これは一階線形非斉次微分方程式、一般解がありますがここでは
μ=constant
なので(1)が解けて
m=m0+μt (4)
(3)に代入
dv/dt+[μ/(m0+μt)]v=g
整理して
(t+m0/μ)dv/dt+v=g(t+m0/μ)
左辺は
d[(t+m0/μ)v]/dt
であることは微分してみればわかります。
よって
d[(t+m0/μ)v]/dt=g(t+m0/μ)
両辺積分して
(t+m0/μ)v=g(t^2/2+m0t/μ)+C
Cは積分定数
t=0の時v=0より
C=0
従って
v=g(t^2/2+m0t/μ)/(t+m0/μ)=g(μt^2/2+m0t)/(μt+m0)
No.1
- 回答日時:
ガリレオのピサの斜塔での実験のとおり、空気の抵抗を考えないのであれば、落下速度に質量は関係しません。
仮に質量 m が時間の関数であっても、(2)式の段階で両辺を m で割れば、
dv/dt = g
という、「物体の過速度は、重力加速度に等しい」という当たり前の式になります。
最後の式も、分子をtでくくれば分母と等しいので、
v = gt
という当たり前の式になります。
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