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雨滴の運動
質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。

はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。
時間tのあとの速度を求めよ。

という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。
簡単な変数分離で解けるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 写真です

    「雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の」の補足画像1
      補足日時:2016/03/15 22:21

A 回答 (3件)

No.1 です。



ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。

 ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
 雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。

 でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
 「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。

 質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。
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この回答へのお礼

なるほど!
確かに周りの雨が静止していのは現実的ではありませんね。
計算も分かりやすく教えていただきありがとうございます。
悩んでいた問題が解けました。

お礼日時:2016/03/16 14:25

dm/dt=μ (1)


d(mv)/dt=mg (2)
(2)より
mdv/dt+vdm/dt=mg
(1)を代入
mdv/dt+μv=mg
dv/dt+(μ/m)v=g (3)
これは一階線形非斉次微分方程式、一般解がありますがここでは
μ=constant
なので(1)が解けて
m=m0+μt (4)
(3)に代入
dv/dt+[μ/(m0+μt)]v=g
整理して
(t+m0/μ)dv/dt+v=g(t+m0/μ)
左辺は
d[(t+m0/μ)v]/dt
であることは微分してみればわかります。
よって
d[(t+m0/μ)v]/dt=g(t+m0/μ)
両辺積分して
(t+m0/μ)v=g(t^2/2+m0t/μ)+C
Cは積分定数
t=0の時v=0より
C=0
従って
v=g(t^2/2+m0t/μ)/(t+m0/μ)=g(μt^2/2+m0t)/(μt+m0)
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この回答へのお礼

これなら運動量でやるのを思いつかなくても解けますね!
微分をまとめるところには気が付きませんでした!
ありがとうございます。

お礼日時:2016/03/16 14:27

ガリレオのピサの斜塔での実験のとおり、空気の抵抗を考えないのであれば、落下速度に質量は関係しません。



仮に質量 m が時間の関数であっても、(2)式の段階で両辺を m で割れば、
  dv/dt = g
という、「物体の過速度は、重力加速度に等しい」という当たり前の式になります。

最後の式も、分子をtでくくれば分母と等しいので、
  v = gt
という当たり前の式になります。
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Q雨滴の運動方程式を解きたい

空気抵抗を無視して、垂直落下中水蒸気を吸着してでかくなる雨滴の運動を考える。雨滴の質量、半径、速度をそれぞれ、m(t),r(t),v(t)として、運動方程式・d{m(t)v(t)}/dt=m(t)g が与えられている。
ここで、m(t)=(4π/3)×r(t)の3乗、dm(t)/dt=k×4π×r(t)の2乗(k:比例定数)の関係がある。
t=0で速度0、雨滴半径a として運動方程式を解いて、v(t)を出さなくてはならないのですが、運動方程式に、与えられた式2つを入れて解こうとすると、つまずきます。
上見づらくてすいません・・・。あと問題も説明不足だったら言ってください。
アドバイスください。こうすれば微分方程式が解けるよ。みたいな感じで良いのでm(..)m お待ちしております

Aベストアンサー

空気抵抗を無視するのはどうかと思いますが、自分なりに解いてみました。雨滴の密度が入ってなかったので入れましたが、k に含まれているのなら ρ = 1 としてください。結果は t の1次の項と、t の-ρ/k 乗の項の差になったのですが、ρ/k の大きさによっては一定になるということでしょうかね。微分方程式の解は数式処理ソフトに頼りましたが全体を検算していないので、元の運動方程式に入れて成り立つか確認してください。

(運動方程式)
  d(m*v)/dt = m*g --- (1)

雨滴の半径を r [m]、密度を ρ [kg/m^2] とすれば、質量 m [kg] は
  m = 4/3*π*ρ*r^3
となります。r が時間 t の関数であれば
  dm/dt = 4*π*ρ*r^2*dr/dt
となりますが、ご質問の条件「 dm/dt = k*4*π*r^2 」と比較すると
  k = ρ*dr/dt
  → dr/dt = k/ρ --- (2)
です。もし k が定数なら、式(2)の両辺を t で積分して
  r(t) = k*t/ρ + C1 ( C1 は定数 )

t = 0 のときの半径を r0 [m] とすれば C1 = r0
したがって、r(t) = k*t/ρ + r0 より
  m(t) = 4/3*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3 --- (3)
  dm/dt = 4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2 --- (4)

一方、運動方程式 (1) は、m と v を時間の関数とすれば
  d(m*v)/dt = v*dm/dt + m*dv/dt = m*g
だから、式 (3), (4)を代入して
  4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2*v + 4/3*π*k*( k*t/ρ + r0 )^3*dv/dt = 4/3*g*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3
  → 3*v + ( k*t/ρ + r0 )*dv/dt = g*ρ*( k*t/ρ + r0 )/k
  → v(t) = g*ρ*( k*t + r0*ρ )/{ k*( ρ + k ) } + C2*( k*t + r0*ρ )^( -ρ/k ) t = 0 のとき v = 0 ならば C2 = -g*ρ^2*r0/{ k*( ρ + k )*( r0*ρ )^( -ρ/k ) }
  v(t) = g*ρ*( k*t + r0*ρ )/{ k*( ρ + k ) } - g*ρ^2*r0*( k*t + r0*ρ )^( -ρ/k )/{ k*( ρ + k )*( r0*ρ )^( -ρ/k ) }

空気抵抗を無視するのはどうかと思いますが、自分なりに解いてみました。雨滴の密度が入ってなかったので入れましたが、k に含まれているのなら ρ = 1 としてください。結果は t の1次の項と、t の-ρ/k 乗の項の差になったのですが、ρ/k の大きさによっては一定になるということでしょうかね。微分方程式の解は数式処理ソフトに頼りましたが全体を検算していないので、元の運動方程式に入れて成り立つか確認してください。

(運動方程式)
  d(m*v)/dt = m*g --- (1)

雨滴の半径を r [m]、密度を ρ [kg/m...続きを読む

Q物理の問題が分かりません。助けてください><

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僕の回答が合っているかと(4)~(9)の分からない問題を1つでも分かる方いらっしゃいましたらどうか回答よろしくお願いします。

Aベストアンサー

(1)微小時間dt後の質量を考えると
m(t+dt)=m(t)+μm(t)dt
より
dm(t)/dt=μm(t)

(2)ヒントを使って
dp/dt=f
に代入すると
d(m(t)v(t))/dt=m(t)g

(3)v(0)=0
m(0)=m0
x(0)=0

(4)(1)の微分方程式を解いて
m(t)=m0e^(μt)

(5)(2)の微分方程式に(4)の結果を代入整理すると
dv/dt+μv=g
これを解いて
v(t)=(g/μ)(1-e^(-μt))

(6)v→g/μ
の等速運動

(7)問題の意図がよくわからない
たぶん加速度を求めろということだと思いますが
それなら(5)を微分してa(t)=ge^(-μt)の運動

(8)(5)の式を積分、初期条件を考慮して
x(t)=(g/μ)(t+e^(-μt)/μ-1/μ)

(9)(8)の式でe^(-μt)の項は無視できて
x(t)≒(g/μ)(t-1/μ)

Qニュートンの運動法則を変形すると、質量の時間微分が…

ニュートンの運動の法則つまりF=maにおいて
a=dv/dtですから、F=mdv/dt
ここでmは定数ですから、F=d(mv)/dtと書けますよね。

ところで積の微分法則つまり、(xy)'=x'y+xy' ってありますから、
F=m'v+mv'=vdm/dt+mdv/dt となります。
このdm/dtは通常にはゼロですが、扱う対象が光だとか特殊な条件ではゼロではない、と思うのですが…。この解釈を教えて下さい。

Aベストアンサー

質問された方がいわれる通り、運動方程式はF=mdv/dtと書くより

 F=d(mv)/dt  
あるいは
 F=dp/dt

と書いた方が一般的なのです。相対性理論はもとより、非相対論的古典力学においてもそうです。バークレー物理学コースに「ロケットは燃料を消費することにより質量が変化する。そのような場合は質量の時間微分を考慮しなければならない。」と書いてあったと思います。しかし実はそのような場合でなくても運動方程式は一般にはF=dp/dtと書かなければならないのです。力学の一般的な定式化はニュートンの運動方程式ではなく、ハミルトン=ヤコービの理論、またはハミルトン形式で行われます。ハミルトン形式ではエネルギーを座標と運動量で表わしたものをハミルトニアンと呼び H で表わすと正準運動方程式は
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参考URL:http://arxiv.org/abs/hep-th/0603240

質問された方がいわれる通り、運動方程式はF=mdv/dtと書くより

 F=d(mv)/dt  
あるいは
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と書いた方が一般的なのです。相対性理論はもとより、非相対論的古典力学においてもそうです。バークレー物理学コースに「ロケットは燃料を消費することにより質量が変化する。そのような場合は質量の時間微分を考慮しなければならない。」と書いてあったと思います。しかし実はそのような場合でなくても運動方程式は一般にはF=dp/dtと書かなければならないのです。力学の一般的な定式化はニュ...続きを読む

Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q中が中空の球の慣性モーメントの求め方について

中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q偏微分の記号∂の読み方について教えてください。

偏微分の記号∂(partial derivative symbol)にはいろいろな読み方があるようです。
(英語)
curly d, rounded d, curved d, partial, der
正統には∂u/∂x で「partial derivative of u with respect to x」なのかもしれません。
(日本語)
ラウンドディー、ラウンドデルタ、ラウンド、デル、パーシャル、ルンド
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そこで、次のようなことを教えてください。
(1)分野ごと(数学、物理学、経済学、工学など)の読み方の違い
(2)上記のうち、こんな読み方をするとバカにされる、あるいはキザと思われる読み方
(3)初心者に教えるときのお勧めの読み方
(4)他の読み方、あるいはニックネーム

Aベストアンサー

こんちには。電気・電子工学系です。

(1)
工学系の私は,式の中では「デル」,単独では「ラウンドデルタ」と呼んでいます。あとは地道に「偏微分記号」ですか(^^;
その他「ラウンドディー」「パーシャル」までは聞いたことがあります。この辺りは物理・数学系っぽいですね。
申し訳ありませんが,あとは寡聞にして知りません。

(3)
初心者へのお勧めとは,なかなかに難問ですが,ひと通り教えておいて,式の中では「デル」を読むのが無難かと思います。

(4)
私はちょっと知りません。ごめんなさい。ニックネームは,あったら私も教えて欲しいです。

(2)
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*すいません。質問の順番入れ替えました。オチなんで。

では(∂∂)/

Q鎖を引き上げる運動

ひとまとまりに置かれた鎖の一端を手で持って引き上げる運動を考える。鎖の綿密度をλ、重力加速度の大きさをg、鉛直上方をz軸の正の向きとする。

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(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギーE(z)を求めよ。

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という問題なのですが、(1)は力のつりあいから λzg だとわかるのですが、(2)がどうやったらいいか分かりません。どう解くのでしょうか?
また、(3)のW(z)は(2)のFをz=0→zで積分で出ると思うのですが、力学的エネルギーはどうしたらいいのでしょうか?位置エネルギーも運動エネルギーも質量mの部分をどう表したらよいか分かりません。
そして、(4)はどうなるのでしょうか?

どうか、よろしくお願いします。

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(1)引き上げられた部分の長さがzで静止しているとき、鎖を支えている手が及ぼしている力はいくらか?

(2)一方、鎖の先端位置(手の位置)がz、速度がv、加速度がaのとき手が及ぼしている力Fを求めよ。

(3)次に、一定の速度v_0で引き上げる場合を考える。t=0に引き上げ始めた(z(0)=0)とする。手の高さがzになるまでに手がした仕事W(z)と、その時の鎖の力学的エネルギ...続きを読む

Aベストアンサー

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします。
W(z)=∫Fdh (積分範囲は0からz)
    =λ∫(hg+v^2)dh (積分範囲は同上)
    =λ[gh^2/2+hv0^2] (範囲は同上)
    =λ(gz^2/2+zv0^2)

E(z)は質量λzの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλgz^2/2 (2で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がz/2の高さにあるからです) であり、後者はλzv0^2/2です。
よって
E(z)=λ(gz^2+zv0^2)/2

(4)
一言でいうと、質量が変化するからW(z)とE(z)が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題7と8を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf

(2)
鎖の先端の高さがzのとき、宙に浮いている鎖の質量はλzになります。
力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λzgを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλzvですから、
F-λzg=d(λzv)/dt
     =λ(z・dv/dt+v・dz/dt)
     =λ(za+v^2)
よって
F=λ(zg+za+v^2)

(3)
速度が一定なので上記においてa=0、かつ速度がv0なので、Fは
F=λ(zg+v0^2)
変数としての鎖先端の高さをhとします...続きを読む

Q剛体振り子の周期

剛体振り子の運動方程式 I(θの2回微分)=-Mghθ
から、普通に
周期T=2π√(I/Mgh)
と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

これはθに関する微分方程式を解かなければいけません。
すなわち
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(A=Mgh/I)
これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Qe^-2xの積分

e^-2xの積分はどうしたらよいのでしょうか…。e^xやe^2xsinxなどはのってるのですがこれが見つかりません。お願いします。

Aベストアンサー

いささか、思い違いのようです。

e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

e^-2x を微分すると、(-2)*( e^-2x )となるので、

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そこでアンペール・マクスウェルの方程式で、変位電流というものがでてきました。しかし、その教科書ではその名前のことしか教えてくれず、調べてもこれと言ったいいものがありません。

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ちなみにいくつか調べた結果、変位電流は「実際には存在しない電流である」や「コンデンサで交流を流したときにでるものである」という情報を入手しています。


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 平行板コンデンサーがあって交流電流が流れているとします。コンデンサーにつながる導線には電流(=電荷の移動)があり、導線の周囲には変動する磁場が生じます。コンデンサーの極板の間には移動する電荷が存在しないので電流がありませんが、では、極板間の空間(の周囲)には磁場は生じないのでしょうか。

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http://www.cqpub.co.jp/dwm/Contents/0083/dwm008301420.pdf


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