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雨滴の運動
質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。

はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。
時間tのあとの速度を求めよ。

という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。
簡単な変数分離で解けるのでしょうか?

質問者からの補足コメント

  • 写真です

    「雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の」の補足画像1
      補足日時:2016/03/15 22:21

A 回答 (3件)

No.1 です。



ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。

(3)の式は、(2)において
  p = mv   (4)
という「運動量」に置き換え、
  dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
  m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
  dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
  p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
  p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
  v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。

 ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
 雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。

 でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
 「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。

 質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。
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この回答へのお礼

なるほど!
確かに周りの雨が静止していのは現実的ではありませんね。
計算も分かりやすく教えていただきありがとうございます。
悩んでいた問題が解けました。

お礼日時:2016/03/16 14:25

dm/dt=μ (1)


d(mv)/dt=mg (2)
(2)より
mdv/dt+vdm/dt=mg
(1)を代入
mdv/dt+μv=mg
dv/dt+(μ/m)v=g (3)
これは一階線形非斉次微分方程式、一般解がありますがここでは
μ=constant
なので(1)が解けて
m=m0+μt (4)
(3)に代入
dv/dt+[μ/(m0+μt)]v=g
整理して
(t+m0/μ)dv/dt+v=g(t+m0/μ)
左辺は
d[(t+m0/μ)v]/dt
であることは微分してみればわかります。
よって
d[(t+m0/μ)v]/dt=g(t+m0/μ)
両辺積分して
(t+m0/μ)v=g(t^2/2+m0t/μ)+C
Cは積分定数
t=0の時v=0より
C=0
従って
v=g(t^2/2+m0t/μ)/(t+m0/μ)=g(μt^2/2+m0t)/(μt+m0)
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この回答へのお礼

これなら運動量でやるのを思いつかなくても解けますね!
微分をまとめるところには気が付きませんでした!
ありがとうございます。

お礼日時:2016/03/16 14:27

ガリレオのピサの斜塔での実験のとおり、空気の抵抗を考えないのであれば、落下速度に質量は関係しません。



仮に質量 m が時間の関数であっても、(2)式の段階で両辺を m で割れば、
  dv/dt = g
という、「物体の過速度は、重力加速度に等しい」という当たり前の式になります。

最後の式も、分子をtでくくれば分母と等しいので、
  v = gt
という当たり前の式になります。
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