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雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。はじめ静止していた質量

解決済

雨滴の運動
質量が変化する落体の運動で次の問題の式の解き方がわかりません。

はじめ静止していた質量m0の雨滴が、単位時間にμの割合で周囲の静止した水滴を取り込みながら重力場の中を落下していく。
時間tのあとの速度を求めよ。

という問題で写真のような模範解答なのですが最後の(3)式の求め方がわかりません。
簡単な変数分離で解けるのでしょうか？

質問者からの補足コメント

  • 写真です

    「雨滴の運動質量が変化する落体の運動で次の」の補足画像1
      補足日時：2016/03/15 22:21
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A 回答 (3件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

No.1 です。



ご質問の「（３）の導き方」には触れていませんでしたね。

（３）の式は、（２）において
　　p = mv 　　（４）
という「運動量」に置き換え、
　　dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式（F = ma = m(dv/dt) = dp/dt ）」そのものにしてから、右辺の「力： F=mg」の項に
　　m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
　　dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
　　p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記（４）により
　　p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
　　v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。

　ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった（あるいは重くなった）質量は、その場で「異なる速度を持って離れる（または合体する）」という場合です。
　雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。

　でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、（２）式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
　「静止している（＝運動量がゼロ）水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。

　質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。
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この回答へのお礼

なるほど！
確かに周りの雨が静止していのは現実的ではありませんね。
計算も分かりやすく教えていただきありがとうございます。
悩んでいた問題が解けました。

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お礼日時：2016/03/16 14:25

No.3

  • 回答者： spring135
  • 回答日時：

dm/dt=μ (1)


d(mv)/dt=mg (2)
(2)より
mdv/dt+vdm/dt=mg
(1)を代入
mdv/dt+μv=mg
dv/dt+(μ/m)v=g (3)
これは一階線形非斉次微分方程式、一般解がありますがここでは
μ＝constant
なので(1)が解けて
m=m0+μt (4)
(3)に代入
dv/dt+[μ/(m0+μt)]v=g
整理して
(t+m0/μ)dv/dt+v=g(t+m0/μ)
左辺は
d[(t+m0/μ)v]/dt
であることは微分してみればわかります。
よって
d[(t+m0/μ)v]/dt＝g(t+m0/μ)
両辺積分して
(t+m0/μ)v=g(t^2/2+m0t/μ)+C
Cは積分定数
t=0の時v=0より
C=0
従って
v=g(t^2/2+m0t/μ)/(t+m0/μ)=g(μt^2/2+m0t)/(μt+m0)
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この回答へのお礼

これなら運動量でやるのを思いつかなくても解けますね！
微分をまとめるところには気が付きませんでした！
ありがとうございます。

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お礼日時：2016/03/16 14:27

No.1

  • 回答者： yhr2
  • 回答日時：

ガリレオのピサの斜塔での実験のとおり、空気の抵抗を考えないのであれば、落下速度に質量は関係しません。



仮に質量 m が時間の関数であっても、（２）式の段階で両辺を m で割れば、
　　dv/dt = g
という、「物体の過速度は、重力加速度に等しい」という当たり前の式になります。

最後の式も、分子をｔでくくれば分母と等しいので、
　　v = gt
という当たり前の式になります。
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Aベストアンサー

空気抵抗を無視するのはどうかと思いますが、自分なりに解いてみました。雨滴の密度が入ってなかったので入れましたが、k に含まれているのなら ρ = 1 としてください。結果は t の１次の項と、t の-ρ/k 乗の項の差になったのですが、ρ/k の大きさによっては一定になるということでしょうかね。微分方程式の解は数式処理ソフトに頼りましたが全体を検算していないので、元の運動方程式に入れて成り立つか確認してください。

(運動方程式）
　　d(m*v)/dt = m*g --- (1)

雨滴の半径を r [m]、密度を ρ [kg/m^2] とすれば、質量 m [kg] は
　　m = 4/3*π*ρ*r^3
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　　dm/dt = 4*π*ρ*r^2*dr/dt
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　　k = ρ*dr/dt
　　→　dr/dt = k/ρ --- (2)
です。もし k が定数なら、式(2)の両辺を t で積分して
　　r(t) = k*t/ρ + C1　（ C1 は定数 ）

t = 0 のときの半径を r0 [m] とすれば C1 = r0
したがって、r(t) = k*t/ρ + r0 より
　　m(t) = 4/3*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3 --- (3)
　　dm/dt = 4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2 --- (4)

一方、運動方程式 (1) は、m と v を時間の関数とすれば
　　d(m*v)/dt = v*dm/dt + m*dv/dt = m*g
だから、式 (3), (4)を代入して
　　4*π*k*( k*t/ρ + r0 )^2*v + 4/3*π*k*( k*t/ρ + r0 )^3*dv/dt = 4/3*g*π*ρ*( k*t/ρ + r0 )^3
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質問された方がいわれる通り、運動方程式はＦ＝ｍdv/dtと書くより

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　Ｆ＝d(mv)/dt　　
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この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
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となるわけです。
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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

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Aベストアンサー

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　　　　　＝λ（ｚ・ｄｖ／ｄｔ＋ｖ・ｄｚ／ｄｔ）
　　　　　＝λ（ｚａ＋ｖ＾２）
よって
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｚａ＋ｖ＾２）

（３）
速度が一定なので上記においてａ＝０、かつ速度がｖ０なので、Ｆは
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｖ０＾２）
変数としての鎖先端の高さをｈとします。
Ｗ（ｚ）＝∫Ｆｄｈ　（積分範囲は０からｚ）
　　　　＝λ∫（ｈｇ＋ｖ＾２）ｄｈ　（積分範囲は同上）
　　　　＝λ［ｇｈ＾２／２＋ｈｖ０＾２］　（範囲は同上）
　　　　＝λ（ｇｚ＾２／２＋ｚｖ０＾２）

Ｅ（ｚ）は質量λｚの鎖の位置エネルギーと運動エネルギーを考えれば
よくて、前者はλｇｚ＾２／２　（２で割っているのは、宙に浮いている鎖の
重心がｚ／２の高さにあるからです）　であり、後者はλｚｖ０＾２／２です。
よって
Ｅ（ｚ）＝λ（ｇｚ＾２＋ｚｖ０＾２）／２

（４）
一言でいうと、質量が変化するからＷ（ｚ）とＥ（ｚ）が同じにならないということ
です。下記はそのものズバリの問題ではありませんが、参考にはなります。
例題７と８を見て下さい。
https://online.lec-jp.com/images/goods_book/KL/KL10057.pdf

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力は運動量を時間で微分したものなので、Fから鎖にかかる重力λｚｇを
差し引いたものが運動量の時間微分になります。運動量はλｚｖですから、
F-λｚｇ＝ｄ（λｚｖ）／ｄｔ
　　　　　＝λ（ｚ・ｄｖ／ｄｔ＋ｖ・ｄｚ／ｄｔ）
　　　　　＝λ（ｚａ＋ｖ＾２）
よって
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｚａ＋ｖ＾２）

（３）
速度が一定なので上記においてａ＝０、かつ速度がｖ０なので、Ｆは
Ｆ＝λ（ｚｇ＋ｖ０＾２）
変数としての鎖先端の高さをｈとします...続きを読む

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もう１回ｔで微分すると
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これらを当初の方程式に代入すれば
－a・ω^2・sin(ωt+c) ＝ －Ａ・a・sin(ωt+c)
よって
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