トルクと角速度の時間的な関係について

お世話になります。

過去に何度も同じような質問をしましたが、改めてよろしくお願いします。
回転しているジャイロ（コマ）にトルクをかける話です。

トルクTxを与えると角速度θ/dtが発生します。これがプリセッションです。
②の方程式の通り、Txとθ/dtは同時に発生していることが分かります。

質問）
①の方程式について、
与えるTxに対して、x軸回りの角速度φ/dtは同時に発生しているのでしょうか？


一方、角速度を与えてトルクを発生させることをジャイロ効果と言いました。

この質問の意図は、
トルクTxによって発生した角速度φ/dtによって、トルクTyが発生するという関係式④
L × φ/dt = Ty 証明したいのです。

①、②，③，④は同時に成り立つ方程式なのだろうかという質問です。

※①、③の微分の中身のφ、θにはドットが付いてます。見づらくてすみません。

質問者からの補足コメント

• 補足します。
  
  前提が少し異なります、
  今回、作用に対する、「抗力」を考えません。
  
  図２･･･x軸回りのトルクTxによって、y軸回りの角速度dθ/dtが発生する。
  図３･･･x軸回りの角速度dφ/dtによって、y軸回りのトルクTyが発生する。
  
  どちらもx軸が起点となる軸です。そして、外積としての向きも正しいです。
  
  図２と図３が時間的に同時に成り立つものなのかということでした。
  (プリセッションもジャイロ効果も、現象として同じ物である。)
  
  僕自身の認識が間違っていなければ恐らく、
  トルクTxがはじまりとして、
  ②式の角速度dθ/dtは同時に発生するけれども、①式の角速度dφ/dtはdt秒後にしか発生できない。

  
  No.1の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2015/11/12 13:33

• 

  最後、できない。とぷつんと言葉を切ってしまったので、少し失礼しました。
  
  話がややこしくなりそうですが、
  No.1さんがおっしゃった、
  ＞(dφ/dt) × L = -Ty
  
  実は、もともと回転の運動方程式から導き出された ω × L ＝ Tという式が、
  作用に対する反作用があるがために、「－T」であり、結果 L × ω ＝ T という、
  世間でも割と知れ渡っている話が、どうも非論理的な感じがして納得できませんでした。
  
  少し余談として、
  きちんと納得できる話がないだろうかと、英語の文献も探りつつ、
  ジャイロスコープのここ100年の歴史も遡っていました。
  
  そのこともあり、今回の質問をさせていただきました。
  混乱させてしまってすみません。

    補足日時：2015/11/12 14:10

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/13 12:10

No.1です。

何度もすみません。「補足」に書かれたことについて。

　私の理解が間違っているのか、質問者さんの意図を正しく理解できていないのか、よくは分かりませんが、お示しの説明であれば、事象の発生する順序（因果関係）は、

（１）トルク Tx が起因となる外力。
　　↓
（２）この外力 Tx による運動方程式が①式。
　　↓
（３）このトルク Tx による角加速度「d^2φ/dt^2」（①式ではドット付きφの一次微分で表記）により、x軸周りの回転運動が発生。
　　↓
（４）x軸周りの回転運動の角速度 dφ/dt とコマの角運動量 L とにより、④式によってトルク Ty が発生。
　　↓
（５）このトルク Ty による運動方程式が③式。
　　↓
（６）このトルク Ty による角加速度「d^2θ/dt^2」（③式ではドット付きθの一次微分で表記）により、y軸周りの回転運動が発生。
　　↓
（７）y軸周りの回転運動の角速度 dθ/dt とコマの角運動量 L とにより、②式によってトルク Tx2 が発生。この「トルク Tx2 」は①式の「Tx」とは異なる。方向は逆向き。
　　↓
（８）以下、トルク「 -Tx2」による運動方程式を書いて（２）以下を繰り返し。


　つまり、事象の進展は①→④→③→②の順であり、しかも①と②の「Tx」は同じものではない、というのが私の見解です。
　質問者さんの疑問は、「①と②の「Tx」が同じ」と思い込んでいるところにも起因しているような気がします。

　なお、①→④→③→②は厳密に言えば「同時」ではなく、この因果関係で進展しますが、それは「光速度で伝播する近接作用」なので近似的には（ニュートン力学としては）「同時」と言って構わないと思います。

　質問者さんのおっしゃる「①式の角速度dφ/dtはdt秒後にしか発生できない」の「dt秒後」とは「dt→0」の極限の話ですよね？　「微分」とはそういうことですから。


ついでに。

＞実は、もともと回転の運動方程式から導き出された ω × L ＝ Tという式が、
＞作用に対する反作用があるがために、「－T」であり、結果 L × ω ＝ T という、
＞世間でも割と知れ渡っている話が、どうも非論理的な感じがして納得できませんでした。

　いいえ、神の見えざる手による「反作用」ではなく、上に書いたようにきちんと力学の法則にのっとった「反対向きの力」が発生するのです。

　電磁気における、「電流→磁界が発生→磁界による誘導起電力が発生→誘導起電力による逆向きの電流が発生→（繰り返し）」や「電磁波の進行」というのと同じようなことでしょう。
　相互作用が、一方通行ではなく、行きつ戻りつ起こるということだと思います。

この回答へのお礼

＞「同時」と言って構わないと思います。
そのように理解いたします。

＞①と②の「Tx」は同じものではない
ということについては、じっくり考えてみようと思います。

来週あたりにこの質問を締めくくらせて頂きます。
丁寧に回答いただきありがとうございました。

お礼日時：2015/11/13 16:31

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/12 12:05

またお邪魔します。

もっと詳しい方が、的確に分かりやすく回答していただけるとよいのですが、私の理解している範囲内で回答します。

＞トルクTxを与えると角速度θ/dtが発生します。これがプリセッションです。

　んっ？　与える外力は、y軸の時計方向に回転を発生させるものですよね？　この外力によって、y軸を中心に角速度dθ/dt の回転運動が発生し、その結果②式に従ってトルク Tx が発生するということではありませんか？　つまり「トルク Tx 」は外力として加えるのではなく、プリセッションの結果発生するものでは？

　従って、お示しの文章は、「角速度dθ/dtが発生するような外力を与えると、コマの回転による角運動量 L とによって、トルク Tx が発生します。これがプリセッションです」ということかと思います。
　もし、「角速度dθ/dtが発生するような外力」をトルクで表現したいのであれば、これを「y軸正方向に右ねじが進む方向のトルク Ty0 」というような別のパラメータで表現する必要があると思います。

＞②の方程式の通り、Txとθ/dtは同時に発生していることが分かります。

　θ/dtを「dθ/dt=ω」とすれば「はい」。トルク Tx は、角速度dθ/dt によって発生するのですから。

＞質問）
＞①の方程式について、
＞与えるTxに対して、x軸回りの角速度φ/dtは同時に発生しているのでしょうか？

　「与えるTx」ではなく、「プリセッションの結果生じる Tx」と解釈します。
　これまでの式はすべて「ベクトル」の式です。従って、②式の Tx は「右ねじがx軸方向に進む方向のトルク」です。このトルクによって発生する運動の角速度が「dφ/dt」そのものですから、当然同時に発生します。

＞この質問の意図は、
＞トルクTxによって発生した角速度φ/dtによって、トルクTyが発生するという関係式④
＞L × φ/dt = Ty 証明したいのです。

　上に書いた「プリセッション」と同じ理屈で、角速度「dφ/dt」とコマの回転による角運動量「L」（いずれもベクトル）によって、トルク（これもベクトル）
　　(dφ/dt) × L = -Ty　　⑤
が発生します。
　質問者さんの書かれている④式は、ベクトル外積の順序を逆にすれば、この⑤式と等価です（ここでは②式と形を合わせたため、y軸の方向から「-Ty」となります）。
　「-Ty」は、右ねじが「y軸の負方向」に進む方向のトルクです。つまり、トルク Ty は、一番最初に加えたトルク「Ty0」（角速度 dθ/dt を発生させる外力としてのトルク）の逆方向であることが分かります。

　③式も
　　　Iy * (d^2θ/dt^2) = -Ty
となり、トルク Ty による角速度 dθ/dt の変化方向は、一番最初に加えたトルク「Ty0」によって生じる角速度と逆方向であることが分かります。
　つまり、最初に加えたトルク「Ty0」に対して、回り回ってそれを打ち消す方向の「反力：-Ty」が発生するわけです。

　これが、コマやジャイロの「一定の姿勢を保持しようとする」「回転軸の保存性」そのものだと思いますので、「同時に発生する」ことは間違いないと思います（相対論的に厳密に言えば「近接作用」として光速で伝播する）。


　ベクトルの話なので、文章だけでは分かりにくくてすみません。ご質問の趣旨や内容が違うようでしたら補足してください。