惑星間にはたらく力から力学的エネルギー保存の法則を求める

ma=mrω^2 - G*(Mm/r^2)

大小の惑星があった場合に、小惑星の相対的な運動のみを考えるとすると、小惑星の質量をm、加速度a、角速度をω、大惑星の質量をM、2対間の距離をrとすると、上のような運動方程式が成り立ちますよね。

これから、力学的エネルギー保存の法則を導きたいのですが、どうすればよいのでしょうか？
聞いた話では、式を変形して積分すれば何かいいらしいのですが、よくわかりません！！
助けてください！！！

よろしくお願いします。

No.4 回答者： connykelly 回答日時： 2007/08/10 13:14

#1のconnykellyです。

>ここで、換算質量μがどういう意味なのかよく分かりません。

詳しいことはこのサイトのココ↓を参照してみてください。
http://oshiete1.goo.ne.jp/qa44558.html

>運動方程式が -GMm/r^2　はわかりますが、そこからどう簡略化すればよいかがよくわかりません。微分してなぜ -k/r^2　になるかが・・・。

え～っと、μd^2ｒ/dt^2=－GMm/r^2から出発するわけですけど、両辺をμで割ってk=GMm/μと置き換えればd^2r/dt^2=-k/r^2となりますね。両辺にdr/dtを掛けると（←この手の微分方程式を解く場合の定石）dr/dt(d^2r/dt^2)=-k/r^2(dr/dt)。左辺はdr/dt(d^2r/dt^2)=(1/2)d/dt((dr/dt)^2)となりますね。ということで(1/2)d/dt((dr/dt)^2)=-k/r^2(dr/dt)。時間で積分すると左辺=∫(1/2)d/dt((dr/dt)^2)dt=∫(1/2)d((dr/dt)^2)=(1/2)va^2-(1/2)vb^2。右辺=-k∫[a,b](1/r^2)dr=-k(1/ra-1/rb)。ごちゃごちゃとしてチョッと疲れました、、、(笑）。このあたりでお開きとさせていただきます。老婆心ながら力学の教科書をよく読みましょう。

No.3 回答者： edw-19 回答日時： 2007/08/09 23:02

これから、力学的エネルギー保存の法則を導きたいのですが、どうすればよいのでしょうか？

お馬鹿なホムペを見つける。＾○＾
ここで絵を見て運動を良く理解しようね♪

http://laboratory.sub.jp/phy/77.html

おお、ただのベクトルじゃないか。

微分はここで勉強しましょう。
http://www.cam.hi-ho.ne.jp/kai-home01/others/mat …
おお。
切片求めるぐらいなら今時中坊だって出来るぞ。
天文学って何て単純な学問なんだ。＾＿＾

No.2 回答者： ojisan7 回答日時： 2007/08/09 21:59

>ma=mrω^2 - G*(Mm/r^2)

高校物理の公式を、鵜呑みにしているようです。遠心力は回転系からみたときの慣性力（見かけの力）です。実際に作用している力は、
- G*(Mm/r^2)だけですね。
中心力の２体問題は換算質量を使うのが普通ですが、難しいようでしたら、無理に使うことはありません。運動方程式は自然に導かれます。
ma=－G(M+m)m/r^2
No1さんと同じ式が導かれましたね。後は教科書を見て、ご自分で考えてくださいね。

No.1 回答者： connykelly 回答日時： 2007/08/09 21:26

>ma=mrω^2 - G*(Mm/r^2)

？？？
質量M の大惑星の周りを質量mの小惑星が運動している場合、換算質量をμ、2対間の距離をr、万有引力定数をG とし、小惑星の運動方程式はμd^2ｒ/dt^2=－GMm/r^2となりますね。教科書をよく見ましょう。これを整理して、簡略化するとd^2r/dt^2=-k/r^2。両辺にdr/dtを掛けるとdr/dt(d^2r/dt^2)=(1/2)d/dt(dr/dt)^2=(-k/r^2)dr/dt。時間で積分すると(1/2)va^2-(1/2)vb^2=-k∫[a,b](1/r^2)dr=-k(1/ra-1/rb)。整理すると(1/2)va^2+k/ra=(1/2)vb^2+k/rb=一定でエネルギー保存則を表しますね。

(P.S)上のrは本当はベクトルで表さなければなりませんが手を抜いています(笑い）。

http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~sakaue/joron/ …

参考URL：http://sci-tech.ksc.kwansei.ac.jp/~sakaue/joron/ …

この回答へのお礼

ありがとうございます。
ここで、換算質量μがどういう意味なのかよく分かりません。No.2さんは考えなくて良いといっていますが・・・。

換算質量は、μ＝m1*m2/(m1+m2)で質量を換算しているという意味ですか？あと、運動方程式が -GMm/r^2　はわかりますが、そこからどう簡略化すればよいかがよくわかりません。微分してなぜ -k/r^2　になるかが・・・。
申し訳ないですが、もう少し詳しく教えていただけるとありがたいです。
よろしくお願いします。

お礼日時：2007/08/10 10:50