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図のように、長さL、密度が一様な質量Mの細い棒の端の点Aに、大きさが無視できる質量mの質点が取り付けられた物体の運動について考える。この物体は回転軸の周りで自由に回転できるように置かれている。重力加速度の大きさをg、慣性モーメントをI=(4/3)mL^2とする。
Q. 点Aが最下点にきたときの点Aに速さvを求めよ。ただし、時刻 t=0のとき、θ=θo、dθ/dt=0である。
A. 棒の角速度をωとする。力学的エネルギー保存則より、 (M+m)gXog(1-cosθo)=(1/2)Iω^2
ここに、ω=v/Lに代入すると v=(3/2)√gL(1-cosθo)

解法が正しいか不安です。大きさが無視できる質点の運動エネルギーは考慮するべきでしょうか。

「力学的エネルギー保存則について」の質問画像

A 回答 (4件)

O回りの棒単体の慣性モーメントは   mL²/3


それに先端の質点mの慣性モーメントは mL²
だから、全体の慣性モーメントは、これらを足して
 I=(4/3)mL² (つまり、Mなどと言うものは出てこない)

運動方程式は x₀g → x₀として
 Iθ''=-2mgx₀sinθ
両辺にθ'を掛けてまとめると
 (Iθ'²/2)'=2mgx₀(cosθ)'
したがって、θ'=wとして
 Iw²/2-2mgx₀cosθ=一定

すると、θ=0の時のwは、θ=θ₀の時、w=dθ/dt=0だから
 Iw²/2-2mgx₀cos0=I・0²/2-2mgx₀cosθ₀
→ Iw²=4mgx₀(1-cosθ₀)
→ w=√{(4mgx₀/I)(1-cosθ₀)}=√{(3gx₀/L²)(1-cosθ₀)}
すると
 v=Lw=√{3gx₀(1-cosθ₀)}
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M=m, xog=(3/4)L を仮定してるなら


そうなるけど、棒の太さが均一とは
書いてないから怪しい。

密度って線密度なのかな?

xog も使っとけばどうでもよいんだけど。
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> 物体の重心に質量中心(M+m)が集中していると考え、重心の位置エネルギーだけを考慮するのは間違いでしょうか。



間違いじゃない。質問文中に Xog に関する言及が無かったので読み取れなかった。
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違います。



棒の重心の運動と、棒の先端についている質点の運動が、連結されて一体になって動いています。

棒の重心が角度θ動く事で獲得する位置エネルギーと、質点の運動が角度θ動く事で獲得する位置エネルギーを個別に計算して、足し算して下さい。

ここまでは高校物理の問題になります。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます。
物体の重心に質量中心(M+m)が集中していると考え、重心の位置エネルギーだけを考慮するのは間違いでしょうか。質点の大きさが無視できるということは関係ないのでしょうか。

お礼日時:2023/06/06 14:25

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