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物理の剛体の問題で、力学的エネルギー保存則を考える時
θの最大値Θまできたら速度は0、角速度も0と考えていいのでしょうか?
Iω^2/2 の回転運動エネルギーは回転してなかったら0という考え方であってますか?

「物理の剛体の問題で、力学的エネルギー保存」の質問画像

A 回答 (5件)

No.3 です。

「お礼」に書かれたことについて。

>初期条件はなく
>問題がωをθの関数で表せという問題です。

>剛体問題における力学的エネルギー保存則で
>今回の問題においてv=0のときはωも0になるのかということです。。

それは力学的エネルギー云々は関係なくて、「滑り」がないので、#2 さんが書かれているように

>v = (a - b)dθ/dt
>ω = (a/b)(dθ/dt)

に尽きます。

球の重心位置の速度 v は、半径が (a - b) なので
 v = (a - b)dθ/dt   ①

そのときの円筒上の周速度は
 V = a・dθ/dt
なので、この周速度で回る球の角速度 ω は
 ω = V/b = (a/b)dθ/dt   ②

これに、①より
 dθ/dt = [1/(a - b)]v
を代入して

 ω = (a/b)(dθ/dt) = [(a/b)/(a - b)]v
  = [a/(ab - b^2)]v         ③

これが求める答でしょう。

当然のことながら、最高点で θ の変化率が一瞬ゼロになる、つまり
 dθ/dt =0
になれば
 v = 0
 ω = 0
になります。
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この回答へのお礼

理解出来ました。ありがとうございます!

お礼日時:2023/04/13 08:38

>(1/2)mv²+(1/2)Iω²+a(1-cosθ)mg=一定。



おっと訂正
(1/2)mv²+(1/2)Iω²+{(a-b)(1-cosθ)+b}mg=一定。
申し訳ない。重力ポテンシャルは地面を基準としました。

でv=0の時ωも当然ゼロです。
その時ポテンシャルが最も大きくなり、θは最大になります。
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力学的エネルギー保存は



 (1/2)mv^2 + (1/2)Iω^2 + (a - b)(1 - cosθ)mg = 一定

ですかね。第3項は「球の重心の位置エネルギー」だと思いますので。

質問者さんが何を求めたいのか分かりませんが、そのための「初期条件」がないと何も定まらないような気がします。

「最大の θ」を求めるためには、「θ = 0 のときの速度」とかが必要かと思います。
逆に、ふつうは「静止状態から手を放す角度θ」を与えて、「θ = 0 のときの速度(重心の速度、回転角速度)」を求めるとか。
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この回答へのお礼

回答ありがとうございます!
初期条件はなく
問題がωをθの関数で表せという問題です。

すみません、問題文を記載していなくて。

私がいいたかったことは

剛体問題における力学的エネルギー保存則で
今回の問題においてv=0のときはωも0になるのかということです。。

言葉足らずで申し訳ないです。

お礼日時:2023/04/12 18:32

成る程、円筒内面にはがっつり摩擦が有って


小球は静止摩擦で円筒内面と噛み合ってる。
但し、転がり摩擦は無視できるってことですね。

とすると力学的エネルギー保存は

(1/2)mv²+(1/2)Iω²+a(1-cosθ)mg=一定。

何を解くのか不明だけど
多分
v=(a-b)dθ/dt
ω=(a/b)(dθ/dt)
も使う。
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この回答へのお礼

ありがとうございます!

(1/2)mv²+(1/2)Iω²+a(1-cosθ)mg=一定
であるとき
θ=θのとき
(1/2)mv²+(1/2)Iω²+a(1-cosθ)mg ①
θ=Θ(最大値)のとき
a(1-cosΘ)mg ②

で①と②はイコールだから式が成り立つ。ということであっていますか?
また②では最大値だから球は止まってv=0 ω=0という解釈であっていますか?
質問続きになってしまい申し訳ないです。

お礼日時:2023/04/12 14:39

丸いかごのようなものは固定されているのだろうか?


内側の丸いのは円盤、球?

元の問題の条件がわからないと
良くわからんです。
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この回答へのお礼

すみません。確かにそうですね。

下図のように,内面がなめらかでない内半径aの中空円筒が地面に固定されており,その内面に質量m,半径bの小球が接している(a>b)。円筒と小球の接触点をA,小球の中心をB,ABを延長し円筒の中心軸と交わる点をO,Oから地面に垂線を下ろした交点をCとする。小球の中心はOACを含む平面内で往復運動をし,小球は円筒内面をすべることなく転がっている。OBがOCとなす角をθとし,Aにおける静止摩擦力をFとする。θおよびFは反時計まわりを正とする。重力加速度の大きさはgとし,ころがり摩擦およ
び空気抵抗は無視できるものとする。小球の密度は均一とする。
です。すみませんがよろしくお願いします。

お礼日時:2023/04/12 12:21

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