力学的エネルギー保存則の導出です tで積分する前に両辺にvをかけるのはどのような意味合いがあるのでし

Question

力学的エネルギー保存則の導出です
tで積分する前に両辺にvをかけるのはどのような意味合いがあるのでしょうか？
調べてみると計算が楽になるからという説明は見つけることが出来ましたが上手く納得出来ません。
①これは物理的にどのような意味合いがあるのか？
②計算が楽になるという理由だけならばvをかけずに積分をしても導出できるのか？→その場合力積と運動量の関係が導出されてしまう気がします
③vをかけたあと置換積分の公式によりの次の行の左辺ですが何故こんなふうになるのか分かりません
両辺にかけたvは時刻の関数ではないのですか？その場合
∫{v(t)×(dv/dt)}dt=∫{v(t)×v'(t)}dt
となり置換積分の公式に適用できないと思います

しっかりと理解出来ていないかも知れません。専門の方お手柔らかにお願いします。

tknakamuri · Accepted Answer

>両辺にかけたvは時刻の関数ではないのですか？その場合
>∫{v(t)×(dv/dt)}dt=∫{v(t)×v'(t)}dt

たとえば
f(x)dxは
x=2uとすると
dx=2du
f(x)=f(2u)
として
f(2u)2du=2f(2u)du

と「変数を置き換えられる」

この時f(x)とf(2u)=g(u)は異なる関数

同様に
v(t)dtで
zをvの逆関数とすると
t=z(v)
dz/dv=dt/dv=1/(dv/dt)→dt={1/(dv/dt)}dv
v(t)=v(z(v))
として
v(t)dt=v(z(v)){1/(dv/dt)}dv
とtをvに「置き換えられる」

このときv(t)とv(z(v))=h(v)= vは異なる関数。
vが関数から変数にいつのまにか変わっていることに注意。

積分内の関数自身に変数変換するのは高校でもやるので
珍しくもなんとも無いが、慣れないと混乱するので、
ゆっくり考えましょう。

tknakamuri · Answer

>弾性力のような力の場合、Fは時間で変わることになるのでは？

物体に加わる力と、力場としての力は別。
F=kx^2
は時間を含ま無いので
xに対する関数形は時間に依存しませんが

x=f(t)で運動する物体にかかるカは
F=k{f(t)}^2

は時間に依存します。
これはどちらも正しい。

tknakamuri · Answer

AN013補足。ますます混乱するかもしれないけど、質問で紹介されている解説は
力学的エネルギー保存則の説明には少し足りない。
説明が往復運動に適用できないから。
①は往復運動では成り立たない(置換積分できない)。
#保存場では成り立つが、①の導出に保存場は使っていない
もう少し説明の追加が必要。

tknakamuri · Answer

>右辺=∫f(t)(dx/dt)dt
>ここから置換積分の公式の形にどのようにするのか分かりません
>x=g(t)と置換してみるとこれをtについて解いてt=h(x)
>すると∫f(h(x))g'(x)dxでさっぱり分からなくなってしまいました

f(t)(dx/dt)dt=f(h(x))dx①

となるのだけど、
dx/dtはΔtをΔxに変換する比。

f'(x)=f(h(x)) ②

f'の'は、異なる独立変数に対してfとは
別の形の関数になると言う意味で
こうしてます。

しかし物理的にはパラメータの
与え方が違うだけで「同じ」カを
表しているので、

f(t)=f(h(x))=f(x)

と同じ記号を使うことが多い。
関数のシグニチャまで含めて関数
ということ。物理の教科書はこの
書き方が主流。なので①は

f(t)(dx/dt)dt=f(x)dx

と書くのがほとんど。

onegaiooonegai · Answer

＃７さん
Fを生み出す力が保存場によるものである場合、Fはxの関数と考えるほうが自然です。
時間で変わらない定常的な場でなければ保存場となりませんし
とのことですが
弾性力のような力の場合、Fは時間で変わることになるのでは？

rnakamra · Answer

#10です。

出した後で間違いに気づいた。

m*dv/dt=F

の両辺をxで積分してもまったく同様にできる。
右辺は説明不要だろうから
∫m*dv/dt dx =∫m *dv/dt *dx/dt * dt = ∫m*dv/dt * v *dt=∫m*v*dv/dt*dt=∫mv dv=(1/2)mv^2+C
置換積分を2回使用して積分する変数をx→t→vと変えていく。変形は少しわかりにくいが同じ式が導ける。

もちろん、質問者が詰まってしまっているところについては余計わかりにくくなるのは言うまでもないが。

rnakamra · Answer

#7です。

>Fがxの関数とするならばわざわざ置換積分をするまでもなく直接xで積分しても良いのではないでしょうか？

xで積分することにそれこそ何の意味があるの?
何も掛けずにxで直接積分すれば確かに右辺は仕事になりますが、左辺はいったいどのように計算するの?

>運動量と力積の関係を証明する時は時刻の関数で考えていますので恐らく今回も時刻の関数だと思います。

これは#7でも書いてありますが、Fを生み出す力が保存場によるものである場合、Fはxの関数と考えるほうが自然です。
時間で変わらない定常的な場でなければ保存場となりませんし、保存場であればUはxの関数でありF=-dU/dxもxの関数なのです。
思います、はいいですが理由もなく確信するのは感心しません。いつでも同じ方法で違う関係式が導ける、そのほうがむしろおかしい。

masterkoto · Answer

何やら難しく考えていますね
v=f(t)…①とおくと
dv/dt=f'(t)…②
また、dv=f'(t)dt…③でもある
①②をつかってV、dv/dtを置き換えれば
左辺＝ｍ∫f(t)f'(t)dt
（もし仮にf(t)が具体的に分かっていれば置換積分に持ち込まないでも、このまま積分できるかもしれない）
ｍ∫f(t)f'(t)dtはdtを③で置き換えれば
ｍ∫f(t)f'(t)dt=m∫f(t)dv
さらにf(t)をｖに戻せば
ｍ∫vdv

ただし説明の便宜上、Vをf(t)に置き換え再びVに戻したり、
本来は一気に置き換えるところを　ｍ∫f(t)f'(t)dt=m∫f(t)dv=ｍ∫vdvと2段階に分けてあります
要点はV＝f(t)であることから
dV=f'(t)dt=(dv/dt)・dt
よって積分の、「(dv/dt)dt」が「dV」に置き換わるというところです
（もし、V＝f(t)からdV=f'(t)dtが理解できなければ
高校生風に(d/dt)V=f'(t)すなわちdV/dt=f'(t)の分母を整理してdV=f'(t)dt だと一旦割り切って見ては）

右辺も同じ要領
v=f(t)とおけばv=dx/dt=f(t)ですがこれでは理解しにくいと思われますので
x=g(t)…④と置きます（x=g(t)に置換）
（言うまでもないことですが、v=dx/dt=g'(t)⇔x=g(t)=∫g'(t)dt=∫vdtですからｘもｔの関数です）
dx=g'(t)dt （　(dx/dt)=g'(t)　）
また、Fが位置ｘで変わるなら　Fはｘの関数ですが
ｘはｔの関数ですから
Fもｘを経由してｔの関数として表せます
つまりF=h(x)＝h(g(t))・・・⑤です
すると
∫F(dx/dt)dt=∫h(g(t))・g'(t)dt　（←←←∫F(dx/dt)dtの段階では　Fはｔの関数）
先ほど同様g'(t)dt をdxに置き換えて
＝∫h(g(t))dx
積分変数xですので、h(g(t))をxの関数に戻して（④より)
=∫h(x)dx
＝∫Fdx　（この段階では、Fはｘの関数：⑤より）

要点は
(dx/dt)dt=g'(t)dt　が dxに置き換わるということ
それにFはｘ、ｔいずれの関数としても表されるということ
このことは　画像中の式にも表れていて
∫F(dx/dt)dtの積分区間は[t1~t2] (この段階ではF=h(g(t)) と言う形式)
∫Fdxの積分区間は[x1~x2] (この段階ではF=h(x)) と言う形式)
というように、積分区間がtからxに変わっていますよね
これは,x=g(t)と言う置換で
積分区間が表のように対応しているという事でもあります
t|t1・・・t2
x|x1・・・x2
つまりt1に対応するのがx1
(x1=g(t1))
t２に対応するのがx２
(x2=g(t2))
なので
∫F(dx/dt)dtから積分変数をｘに変えて∫Fdxに変えた時に積分区間も表のような変換がなされているのです。

yhr2 · Answer

No.1 です。「お礼」に書かれたことについて。

＞右辺も左辺もよく分からなくなってしまいました

そもそもの出発点が「運動方程式」ですね。
　ma = F　　　　①
加速度 a は、速度を v、変位を x とすれば
　a = dv/dt = d²x/dt²
です。
つまり
　m*dv/dt = F　　　　②
または
　m*d²x/dt² = F　　　③

ここから、「力と距離の積である『仕事』＝『エネルギーの増減』を求める」計算をしたいわけです。力が一定であれば、仕事は
　W = F*x
になりますが、力が場所によって変化するときには
　W = ∫Fdx　　　　④
としなければなりません。
（F = 一定なら、W = ∫Fdx = F∫dx = F*x です。積分定数は省略）

本来は①の運動方程式の両辺を変位 x で積分すれば一発で計算できるわけですが、②③を見れば分かるように左辺は「時間微分」の式ですから、そのまま x で積分することができません。
(左辺、右辺を別々の変数で積分したら、イコールで結ぶわけにはいきませんから）

ということで、画像で示されたものは、一度両辺を時間 t で積分し、右辺を t → x に置換することで④の「仕事」を求めているのです。そのための手段として、積分する前に「両辺に v = dx/dt をかける」ということをしているのです。

この「全体の流れの考え方」をまず頭に入れておけば、あとは「計算上のテクニック」のような変換で答が求まります。

＞①右辺について(不定積分を考える)
＞F=f(t)とすると
＞右辺=∫f(t)(dx/dt)dt
＞ここから置換積分の公式の形にどのようにするのか分かりません
＞x=g(t)と置換してみるとこれをtについて解いてt=h(x)
＞すると∫f(h(x))g'(x)dxでさっぱり分からなくなってしまいました

そもそも F がどんな関数かは分かりませんが、何にでも対応できる「汎用」なもので考えれば、#1 に書いたように「x, t の関数」
　F(x, t)
です。なので、F 自体は「t でも、x でも積分できる」と考えます。

その上で、
　∫Fdt
という積分を、x という変数に置換して積分したいと思ったら、
　dF/dt = (dF/dx)(dx/dt)
　dF/dx = (dF/dt)(dt/dx)
という微分の考え方の「逆」で積分すればよいだけです。

これを具体的な「関数」でやるときに、f(x) と f(t) を「同じ関数」と考えると分からなくなります。
同じ物理量でも、「何を変数とするか」によって関数の形が全く変わりますから。
たとえば、力の源が「ばね」の場合には、「変位」を変数とした「力」の式は
　F(x) = -kx　（k：ばね定数）
になります。これを、変数を「時間」にした場合には、運動は「単振動」になるので
　x(t) = A*sin(ωt) + B*cos(ωt)　（ω = √(k/m) 、A, B は任意の定数）
という一般解が得られ、これから「力」は
　F(t) = -k*A*sin(ωt) - k*B*cos(ωt)
のような形になります。関数の形が全く変わりますよね。
その上で
　dx/dt = Aω*cos(ωt) - Bω*sin(ωt)
を求めて「右辺」を作るわけです。
それが具体的な「置換積分」のやり方です。

公式上で f(x) だ f(t) だとやっている限り、その実態は理解できませんよ。

＞②左辺について(不定積分で考える)
＞v=f(t)とすると
＞左辺=∫f(t)(dv/dt)dt
＞v=f(t)⇔t=g(v)と置けば
＞∫f(g(v))f'(t)dt=∫vf'(t)dt=∫vdv？？
＞②もなんとなくで確証かありません。

も同じような話です。

rnakamra · Answer

Fをtの関数と考えると行き詰りますね。

Fがxの関数であると考えればよいのです。

∫F(x) (dx/dt) dt=∫F(x) dx

これでよいのです。

実際、Fは保存場による力である場合を考えていますのでtの関数とするよりもxの関数であるとしたほうが自然です。

力学的エネルギー保存則の導出です tで積分する前に両辺にvをかけるのはどのような意味合いがあるのでし

>両辺にかけたvは時刻の関数ではないのですか？その場合

>弾性力のような力の場合、Fは時間で変わることになるのでは？

AN013補足。

>右辺=∫f(t)(dx/dt)dt

＃７さん

#10です。

#7です。

何やら難しく考えていますね

No.1 です。

Fをtの関数と考えると行き詰りますね。

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