力学的エネルギー保存則の導出です tで積分する前に両辺にvをかけるのはどのような意味合いがあるのでし

力学的エネルギー保存則の導出です
tで積分する前に両辺にvをかけるのはどのような意味合いがあるのでしょうか？
調べてみると計算が楽になるからという説明は見つけることが出来ましたが上手く納得出来ません。
①これは物理的にどのような意味合いがあるのか？
②計算が楽になるという理由だけならばvをかけずに積分をしても導出できるのか？→その場合力積と運動量の関係が導出されてしまう気がします
③vをかけたあと置換積分の公式によりの次の行の左辺ですが何故こんなふうになるのか分かりません
両辺にかけたvは時刻の関数ではないのですか？その場合
∫{v(t)×(dv/dt)}dt=∫{v(t)×v'(t)}dt
となり置換積分の公式に適用できないと思います

しっかりと理解出来ていないかも知れません。専門の方お手柔らかにお願いします。

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2019/08/12 19:33

仕事を時間で微分すると仕事率になります。

ということは仕事率を時間で積分すると仕事になる。

>tで積分する前に両辺にvをかけるのはどのような意味合いがあるのでしょうか？

力F→と速度v→の内積は仕事率Pになります。
P=F→・v→
これをtで積分すれば仕事Wが得られます。
W=∫Pdt=∫F→・v→ dt

仕事Wはエネルギーの変化を意味します。


>両辺にかけたvは時刻の関数ではないのですか？その場合
∫{v(t)×(dv/dt)}dt=∫{v(t)×v'(t)}dt

これは単なるあなたの思い違い。
置換積分で積分する変数を変換します。
たとえばy=g(x)であるとして
∫f(g(x)) g'(x)dx=∫f(y)dy
となりますね。
置換積分の際のxの積分をyの積分に変換する際にはyはxの関数でなければなりません。
yがxの関数でなければそもそも置換積分はできないのです。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
等式の右辺の状態からtとvの関係式を与え置換積分の公式に適用するのに行き詰っております。
まだ置換さえ上手く出来ておりません。

お礼日時：2019/08/13 12:37

No.4 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/12 18:51

#3補足

ちなみに、#3に出てくる仕事とは重力や弾性力がする仕事のこと
すなわち位置エネルギーを意味します

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2019/08/12 18:03

あなたの言う通りFの時間積分は力積になります。

話を簡単にするためにF,vを一定とします
v=x/tだから
Fにvをかけると
Fv=Fx/t＝W/tで仕事率になる
この事から仕事は
W=FV・t
従って、横軸ｔ,縦軸FvとしてFvの時間変化（一定）のグラフを描くと
グラフの面積（FVの時間関数を積分したもの）が仕事になることが分かるかと思います。
Fやvが一定でなくとも、Fv-tグラフを時間間隔を細かくして区切れば上で述べたことと同様な仕組みで、やはりFvの時間変化のグラフの面積（FVの時間関数を積分したもの）が仕事になることが分かるかと思います。
これがあるため、Fvの時間関数が欲しいのです
ということで、運動方程式の両辺にvを掛けて右辺をFvの時間関数にします

そして、tで積分ですが
左辺:mv(dv/dt)dtについて
vは言うまでもなくｔの関数ですから
v=f(t)とすると
dv/dt=f'(t)だから
∫mv(dv/dt)dt=m∫f(t)f'(t)dtと言う状態です
v=f(t)と言う置換ですから
dv=f'(t)dtなので
m∫f(t)f'(t)dt=m∫f(t)dv=m∫vdvです

No.2 回答者： han-ka-2 回答日時： 2019/08/12 17:44

専門家ではありません。

仕事はなんとなくわかりますが，エネルギーというのは全く理解不可能な理系の元大学教員です。さて，運動方程式というのは「力の作用が（動的なものも含めて）つりあっている」というだけです。これ，つまり「力を単に時間積分したもの」は，ご質問者にとってはどういう物理的な意味があるとお思いでしょうか。力に速度を掛け算するとなんとなく瞬間的な仕事かなぁー・・・てなことを，おちついて考えてみたら何かヒントが得られるかもしれません。もちろんNo.1さんのご回答を覚えるってのも一つの手段ではありますが。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます。
力を積分したものはある時間における力が及ぼす影響と解釈しております。
その影響(力積の定義)のために運動状態(運動量と定義)が変化すると考えておりました。
そのため今度はある変位における力が及ぼす影響として別の物理量を考えたいためにこんなことをしているのか、しかし置換積分という数学的なただの演算で変数を時刻から変位に変化させるにあたって物理的意味がないままそんなことをしていいのかなど色々考えて訳が分からなくなってしまいました。
置換積分についても全然理解できないままで行き詰まっております^^;

お礼日時：2019/08/13 12:34

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2019/08/12 17:39

力学的エネルギーの増分は、加えた仕事の総量に等しくなります。

加えた仕事は、「力」と「変位」の積ですが、力が位置によって異なる場合には、その場所における「力」と「微小変位」を経路に沿って積分したものになります。これが①式の右辺だということが分かりますか？

この「エネルギーの差」つまり「加えた仕事」を求めるために、「力を時間で積分する」ものを、この「力を経路（位置）で積分する」ものに置換しています。そのために「dx/dt」(=v) をかけているのです。

「置換積分」は、x=g(t) とおくことにより、積分する変数を x から t に置換する
　∫f(x)dx = ∫f(g(t))(dx/dt)dt = ∫f(g(t))*g'(t)dt 　　　②
というものだということをご存知ですよね？
この式で
　f(x) = f(g(t)) = F(x, t)
　g'(t) = dx/dt = v
ということなのです。
①式を得るために、上の②式の「右辺から左辺」への変換を行っているということになります。

これに対して、①式の左辺はそのまま「時間で積分」すればよいのですが、結果として「時間 t での積分」が「速度 v での積分」に置換されたものになっています。

この回答へのお礼

返信ありがとうございます
申し訳ありませんが置換積分の所をもう少し詳しく教えて頂けませんか？
右辺も左辺もよく分からなくなってしまいました
①右辺について(不定積分を考える)
F=f(t)とすると
右辺=∫f(t)(dx/dt)dt
ここから置換積分の公式の形にどのようにするのか分かりません
x=g(t)と置換してみるとこれをtについて解いてt=h(x)
すると∫f(h(x))g'(x)dxでさっぱり分からなくなってしまいました
②左辺について(不定積分で考える)
v=f(t)とすると
左辺=∫f(t)(dv/dt)dt
v=f(t)⇔t=g(v)と置けば
∫f(g(v))f'(t)dt=∫vf'(t)dt=∫vdv？？
②もなんとなくで確証かありません。

長々とすみません。
こんな僕でわかりやすく教えて頂けると幸いです。

お礼日時：2019/08/13 12:26