No.1ベストアンサー
- 回答日時:
雨滴の質量をm(t)とすると m(t)=m₀+at 、位置をyとし、下向きを正。
雨滴の運動量をp、速度をv とすると、時刻 tと t+dtで、p(t)=mv
p(t+dt)=(m+adt)(v+dv) , dp/dt=F=mg から、2次の微小量を0として
dp=p(t+dt)-p(t)=(m+adt)(v+dv)-mv≒mdv+avdt
従って mdv/dt+av=mg を得る。つまり
dv/dt+{a/(m₀+at)}v=g
となるが、この解はよく知られているように
dy/dt+P(t)y=Q(t) の解で y=exp(-∫Pdt)[∫Q{exp(∫Pdt)}dt+C]
となる。
∫Pdt=∫{a/(m₀+at)}dt=log(m₀+at) → exp(∫Pdt)=m₀+at
∫Q{exp(∫Pdt)}dt=∫g(m₀+at)dt=g(m₀t+at²/2)
v={1/(m₀+at)}{g(m₀t+at²/2)+C}
v(0)=0 だから C=0 となり v=g(m₀t+at²/2)/(m₀+at)
v=(g/2){t(at+m₀)+(m₀/a)(at+m₀)-m₀²/a}/(m₀+at)
=(g/2){t+(m₀/a)-(m₀²/a)/(m₀+at)}
積分して
y=(g/2){t²/2+(m₀/a)t-(m₀/a)² log(m₀+at)}+C
y(0)=0 から C=0
No.2
- 回答日時:
訂正。
最後でy=(g/2){t²/2+(m₀/a)t-(m₀/a)² log(m₀+at)}+C
y(0)=0 から C=(m₀/a)² log(m₀)
なので
y=(g/2){ t²/2+(m₀/a)t-(m₀/a)² log(1+(at/m₀)) }
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