雨滴の運動質量が変化する落体の運動に加えて、空気抵抗がある場合は①②それぞれどのようにといたら良いの

雨滴の運動質量が変化する落体の運動に加えて、空気抵抗がある場合は①②それぞれどのようにといたら良いのでしょうか？　また終端速度はどのようになりますか？
・d(mv)/dt = -mg - kv

① dm/dt = αとき
② dm/dt = βv とき

No.1 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2021/02/02 18:04

d(mv)/dt のうち、m も v も t の関数ということになるので、両方を微分すればよいです。

① dm/dt = αとき
　d(mv)/dt = v(dm/dt) + m(dv/dt) = αv + m(dv/dt)
なので、与えられた微分方程式は
　αv + m(dv/dt) = -mg - kv
→　m(dv/dt) = -mg - (k + α)v

α は定数なのでしょうから、これを v について解けばよいです。

終端速度は dv/dt = 0 となる速度なので
　-mg - (k + α)v = 0
より
　v = -mg/(k + α)

② dm/dt = βv とき
　d(mv)/dt = v(dm/dt) + m(dv/dt) = βv^2 + m(dv/dt)
なので、与えられた微分方程式は
　βv^2 + m(dv/dt) = -mg - kv
→　m(dv/dt) = -mg - βv^2 - kv

β は定数なのでしょうから、これを v について解けばよいです。

終端速度は dv/dt = 0 となる速度なので
　-mg - βv^2 - kv = 0
より
　βv^2 + kv + mg = 0
の二次方程式を解いてください。

この回答へのお礼

ありがとうございます。
理解する事ができました。

お礼日時：2021/02/04 00:36