力学の雨滴の落下の問題です

至急お願いします！

力学の雨滴の落下の問題です。


雨滴が静止している霧を付着し、単位時間に質量をa(aは正の定数)だけ増加しながら落下している。
t=0での質量をm0,速さを0として、時刻tまでに落下した距離を求めよ。

答えは
y=1/2*g[1/2*t^2+m0/a*t-m0^2/a^2*log(1+a/m0*t)]

です。

時間がないのできるだけ早く答えていただけると助かります。
回答お願いします！

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/01/24 17:48

雨滴の質量をm(t)とすると　m(t)=m₀+at 、位置をyとし、下向きを正。

雨滴の運動量をp、速度をv とすると、時刻 tと　t+dtで、p(t)=mv
p(t+dt)=(m+adt)(v+dv) , dp/dt=F=mg から、２次の微小量を0として
dp=p(t+dt)-p(t)=(m+adt)(v+dv)-mv≒mdv+avdt
従って　mdv/dt+av=mg を得る。つまり

dv/dt+{a/(m₀+at)}v=g
となるが、この解はよく知られているように
dy/dt+P(t)y=Q(t) の解で　y=exp(-∫Pdt)[∫Q{exp(∫Pdt)}dt+C]
となる。

∫Pdt=∫{a/(m₀+at)}dt=log(m₀+at) → exp(∫Pdt)=m₀+at
∫Q{exp(∫Pdt)}dt=∫g(m₀+at)dt=g(m₀t+at²/2)
v={1/(m₀+at)}{g(m₀t+at²/2)+C}
v(0)=0 だから C=0 となり　v=g(m₀t+at²/2)/(m₀+at)

v=(g/2){t(at+m₀)+(m₀/a)(at+m₀)-m₀²/a}/(m₀+at)
=(g/2){t+(m₀/a)-(m₀²/a)/(m₀+at)}
積分して

y=(g/2){t²/2+(m₀/a)t-(m₀/a)² log(m₀+at)}+C
y(0)=0 から　C=0

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2019/01/24 17:53

訂正。

最後で
y=(g/2){t²/2+(m₀/a)t-(m₀/a)² log(m₀+at)}+C
y(0)=0 から　C=(m₀/a)² log(m₀)
なので
y=(g/2){ t²/2+(m₀/a)t-(m₀/a)² log(1+(at/m₀)) }