No.2ベストアンサー
- 回答日時:
No.1 です。
ご質問の「(3)の導き方」には触れていませんでしたね。
(3)の式は、(2)において
p = mv (4)
という「運動量」に置き換え、
dp/dt = mg
という「ニュートンの運動方程式(F = ma = m(dv/dt) = dp/dt )」そのものにしてから、右辺の「力: F=mg」の項に
m = m0 + μt
という「質量の時間変化」を代入し
dp/dt = ( m0 + μt )g
これを時間で積分して
p = m0gt + (1/2)μgt^2
ここで上記(4)により
p = mv = ( m0 + μt )v
に戻して
v = p/m = [ m0gt + (1/2)μgt^2 ] / ( m0 + μt )
としたものでしょう。
ただし、これは「燃料を消費して軽くなりながら進むロケット」のような場合で、軽くなった(あるいは重くなった)質量は、その場で「異なる速度を持って離れる(または合体する)」という場合です。
雨のような自然重力落下の場合には、空気の抵抗を考えなければ、雨滴に取り込む周囲の「水滴」も重力で加速されているので、合体する前に同じ速度を持っているはずです。この考え方の基づいたのがNo.1の回答です。
でも、ご質問の問題をよく読むと、「周囲の静止した水滴を取り込みながら」と書いてありますね。
この場合には、(2)式の左辺は「質量と速度の両方が変化する運動量として取り扱う」ことが必要で、上記のような式変形になります。
「静止している(=運動量がゼロ)水滴を取り込む」ので、質量が変化しない自然落下に比べると加速が悪く、落下は遅くなります。
質問文をよく読まない回答で、申し訳ありませんでした。
なるほど!
確かに周りの雨が静止していのは現実的ではありませんね。
計算も分かりやすく教えていただきありがとうございます。
悩んでいた問題が解けました。
No.3
- 回答日時:
dm/dt=μ (1)
d(mv)/dt=mg (2)
(2)より
mdv/dt+vdm/dt=mg
(1)を代入
mdv/dt+μv=mg
dv/dt+(μ/m)v=g (3)
これは一階線形非斉次微分方程式、一般解がありますがここでは
μ=constant
なので(1)が解けて
m=m0+μt (4)
(3)に代入
dv/dt+[μ/(m0+μt)]v=g
整理して
(t+m0/μ)dv/dt+v=g(t+m0/μ)
左辺は
d[(t+m0/μ)v]/dt
であることは微分してみればわかります。
よって
d[(t+m0/μ)v]/dt=g(t+m0/μ)
両辺積分して
(t+m0/μ)v=g(t^2/2+m0t/μ)+C
Cは積分定数
t=0の時v=0より
C=0
従って
v=g(t^2/2+m0t/μ)/(t+m0/μ)=g(μt^2/2+m0t)/(μt+m0)
No.1
- 回答日時:
ガリレオのピサの斜塔での実験のとおり、空気の抵抗を考えないのであれば、落下速度に質量は関係しません。
仮に質量 m が時間の関数であっても、(2)式の段階で両辺を m で割れば、
dv/dt = g
という、「物体の過速度は、重力加速度に等しい」という当たり前の式になります。
最後の式も、分子をtでくくれば分母と等しいので、
v = gt
という当たり前の式になります。
お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 雨滴の落下問題 6 2023/07/16 09:39
- 物理学 雨粒が,空中に浮かんでいる小さな雨滴を取り込んで成長しながら,重力によって落下しているとする。 ある 3 2022/11/19 15:16
- 物理学 物理基礎で、力学的エネルギーと動摩擦力のことを習ったのですが、 あらい斜面の下から物体を滑り上がらせ 2 2022/09/11 10:12
- 物理学 力学の問題です。質量m1、速度v1の物体Aと質量m2、速度v2の物体Bがx軸上を等速直線運動していて 2 2022/12/24 13:26
- 物理学 水平でなめらかな床の上に長さLの板が静止している。板の左の端に人が静止して、ゆっくりと板の上を歩き、 2 2022/12/26 12:06
- 物理学 物理の問題 3 2022/11/12 17:22
- 物理学 物理の単振動の問題で分からない所を教えてください 1 2023/05/10 20:59
- 物理学 高1力学の運動量の問題です。問題を一通り解いたのですが、行き詰まってしまったのでご回答頂ければ嬉しい 3 2022/06/29 11:20
- 物理学 力学の問題です。水平なレールの上の台車に立てられ枠に質量mのおもりを長さLの糸で吊り下げた単振り子が 1 2022/12/23 20:15
- 物理学 高校物理 二次元の衝突 画像の問題の解答では、静止系での球2の速度v2を -運動エネルギー保存 -運 3 2022/11/12 00:34
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
-
性格の違いは生まれた順番で決まる?長男長女・中間子・末っ子・一人っ子の性格の傾向
同じ環境で生まれ育っても、生まれ順で性格は違うものなのだろうか。家庭教育研究家の田宮由美さんに教えてもらった。
-
力学の雨滴の落下の問題です
物理学
-
雨滴の運動質量が変化する落体の運動に加えて、空気抵抗がある場合は①②それぞれどのようにといたら良いの
物理学
-
雨滴の落下問題
物理学
-
-
4
セグメントエラー
C言語・C++・C#
-
5
雨滴の運動方程式を解きたい
物理学
-
6
オレンジII
化学
-
7
因数分解を行うプログラムについて
C言語・C++・C#
-
8
酢酸エチルの収率について。
化学
-
9
塩化アンモニウムを入れる理由
化学
-
10
大学のC言語の課題で
C言語・C++・C#
-
11
活性化エネルギー
化学
-
12
雨滴の落下問題
物理学
-
13
導体球殻の電位
物理学
-
14
滴定曲線からpKaが求められる理由
化学
-
15
力学の数式[F]と[G]の求め方がわかりません。
物理学
-
16
重力を考慮する場合のロケットの運動 一様な重力のもとで、下方に相対速度uで単位時間に質量μの割合でガ
物理学
-
17
硝酸の共役塩基を教えてください。 考え方も教えていただけると嬉しいです
化学
おすすめ情報
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
-
力学の雨滴の落下の問題です
-
Debug.Printで表示される内容を...
-
運動方程式を求めてください
-
電流の時間微分、電圧の時間微分
-
質量流量の記号「・ の読み方を...
-
d^2r/dt^2の意味
-
物理の計算で m×dv/dt×v=d/dt{...
-
dx/dt=√(1-x^2)の一般解の求め...
-
機械力学の問題です!!!
-
ブックオフは潰れないよね? キ...
-
鉛直投げ上げ公式の導出
-
運動方程式の成分表示
-
力学の問題 x=Rcoswt y=Rsinwt ...
-
雨滴の運動方程式を解きたい
-
力学・角運動・微分
-
マクスウェル方程式の微分形を...
-
次の問題をラプラス変換して欲...
-
雨滴の運動質量が変化する落体...
-
d^2x/dt^2=aの一般解の求め方を...
-
極座標の運動方程式について質...
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
-
電流の時間微分、電圧の時間微分
-
d^2r/dt^2の意味
-
ラプラス方程式
-
Debug.Printで表示される内容を...
-
極座標の運動方程式の計算の間...
-
質量流量の記号「・ の読み方を...
-
微分積分のdの意味
-
最後のdv/dtは何でしょうか。
-
加速度 a=dv/dt = (d^2 x) /dt^2
-
雨滴の運動質量が変化する落体...
-
力学について質問です。 1.棒の...
-
運動方程式を求めてください
-
機械力学の問題です!!!
-
微分記号“d”について
-
v^2-v0^2=2ax 今日この式を習っ...
-
運動方程式の微分積分の計算
-
運動方程式の成分表示
-
EXCEL上の数字を自動で振り分け...
-
ブックオフは潰れないよね? キ...
-
難しくてわからないので教えて...
おすすめ情報
写真です