高校物理、位置、速度、加速度の関係式の導出

現在、苑田先生から物理を教わっています。
１次元運動(位置をｘ、速度をv、加速度をaとおく）において微少量の関係
dx=vdt① ,dv=adt,vdv=adx⇔d(1/2v^2)＝adxについて、それぞれ、両辺に時刻t０からｔ１への時間変化量を考える（積分する）と、
ｘ１－ｘ０=∫（ｔ＝ｔ０→ｔ＝ｔ１）vdt 、v1-v0=∫（t=t0→ｔ１）adt、（ｖ１＾２）/2-（ｖ０＾２）/2＝∫（x=x0→ｘ１）adx
それぞれについてたとえば、①では、数学的には両辺に同じインテグラルをかけると∫(ｔ＝ｔ０→ｔ＝ｔ１)dx=∫ｔ＝ｔ０→ｔ＝ｔ１)vdt であり、
∫(ｔ＝ｔ０→ｔ＝ｔ１)dx＝∫（ｘ＝ｘ０→ｘ１）ｄｘ＝ｘ１－ｘ０という積分区間の変換を踏んでいると思ってよいですか？（そうすると、単調減少、増加の場合しか変換がうまくいかないようにも思えますが）
また、左辺というのは、ｄｘの時刻t0からｔ１への変化量であり、それは、それぞれ対応する位置をｘ０、ｘ１とおくならば、ｘ１－ｘ０となるというように考えても良いですか？

質問者からの補足コメント

• 

  t=t0 のとき x=x0 であり t=t1 のとき x=x1 ならば
  ①の定積分は
  ∫(x=x0 → x=x1)dx = ∫(t=t0 → t=t1) vdt
  としなければなりません。
  >>
  解答ありがとうございます。私が言う「積分区間の変換」をしなくてはならないということでしょうか？
  また、∫(x=x0 → x=x1)dx こそが、「左辺というのは、ｄｘの時刻t0からｔ１への変化量であり、それは、それぞれ対応する位置をｘ０、ｘ１とおくならば、ｘ１－ｘ０となる」つまり、ｘの変位の差が出てくることに対応するという理解でよいですか？

  No.3の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/04/04 17:06

• 

  解答ありがとうございます。
  dx/dt=vのようにして積分すると考えると意味がわかりました。
  積分区間の変換での単調性は考えなくて良いのでしょうか？

  No.2の回答に寄せられた補足コメントです。 補足日時：2017/04/04 17:07

No.4 ベストアンサー 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/04 17:52

Ｎｏ３です(^^)

「積分区間の変換」というものではありません。
t=t0 のとき x=x0 であり t=t1 のとき x=x1　だからそうするまでのことです。
ですから、単調減少、単調増加とは関係ありません。
例えば、不定積分から定積分に移行してみましょう。
dx=v(t)dt ・・・vを時間の関数としてv(t)としました。
不定積分して、
x(t)=∫v(t)dt ＋ C ＝V(t) ＋ Ｃ・・・C：積分定数 またxは時間の関数になるはずですのでx(t)としました。またV(t)はv(t)の原始関数です。
すると、t=t0 のとき x=x0 の条件があるから x(t0)=x0
x(t0)=V(t0) + C　　　∴C=x(t0)－V(t0)=x0－V(t0)
t=t1 のとき x=x1 だからx(t1)=x1
x(t1)=V(t1) + C = V(t1) + x(t0) －V(t0) → x1=V(t1) + x0 －V(t0)
したがって、
x(t1) － x(t0) = V(t1) －V(t0) → x1－x0=V(t1) －V(t0)
これを両辺、積分（定積分）の形に戻すと
∫(x=x0 → x=x1)dx = ∫(t=t0 → t=t1) vdt
となります。
もちろん、∫v(t)dt のv(t)に単調減少、単調増加などという条件はありませんね(^^)

この回答へのお礼

何とかわかった気がします。
大変ですけどがんばろうと思います。

お礼日時：2017/04/04 23:23

No.5 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/04/04 18:17

#2のものです。

補足コメントへの回答
>積分区間の変換での単調性は考えなくて良いのでしょうか？
そう。#2に書いてある
"通常置換積分による積分範囲の変換は少しばかり注意が必要だったりするのですが今回の場合は問題ありません。"
はまさにそのことを書いてある。
今回の場合、vの符号が途中で変わるような場合は注意が必要なのだが、そのような場合でもしっかりと場合分けして計算すれば重複している部分はちゃんと相殺してくれます。

この回答へのお礼

助かりました。ありがとうございました。

お礼日時：2017/04/04 23:23

No.3 回答者： ナッキーナッキー 回答日時： 2017/04/04 16:20

普通に積分すればいいんです(^^)

・・・と言うか、「両辺に同じインテグラルをかけると」は間違った考え方です(^^;)
積分記号（インテグラル）はdxやdyと違って、”操作”を表すものですから、「かける」事ではありません。
つまり、t=t0 のとき x=x0 であり t=t1 のとき x=x1 ならば
①の定積分は
∫(x=x0 → x=x1)dx = ∫(t=t0 → t=t1) vdt
としなければなりません。
つまり
∫・・・dx ならばxについて積分して、それが定積分ならば、xの範囲で計算
∫・・・dy ならばyについて積分して、それが定積分ならば、yの範囲で計算
・・・などなど、です。
「左辺というのは、ｄｘの時刻t0からｔ１への変化量であり、それは、それぞれ対応する位置をｘ０、ｘ１とおくならば、ｘ１－ｘ０となるというように考えても良いですか？」
は、まさしくその通りで、上に書いた事から分かるように、それ以外にはなり得ません。

参考になれば幸いです(^^v)

この回答へのお礼

しつこくてすみません。
左辺がｘ１－ｘ０という変位の差になることの理解としては、私の理解の仕方でよいのでしょうか？

お礼日時：2017/04/04 17:10

No.2 回答者： rnakamra 回答日時： 2017/04/04 16:00

もう少し形式にこだわって考えてみましょう。

>dx=vdt① ,dv=adt,vdv=adx⇔d(1/2v^2)＝adx
このような形ではなく、次の形で考えます。

dx/dt=v
dv/dt=a
d(v^2/s)/dx=a

1番目の式をt:t0→t1の区間でtで積分すると
∫[t:t0→t1]dx/dt dt=∫[t:t0→t1] vdt
となります。この左辺は置換積分の公式から
∫[t:t0→t1]dx/dt dt=∫[x:x0→x1] dx
となります。この置換積分の計算を暗黙のうちに行っているのです。
通常置換積分による積分範囲の変換は少しばかり注意が必要だったりするのですが今回の場合は問題ありません。

No.1 回答者： angkor_h 回答日時： 2017/04/04 15:01

簡単に言えば、

位置の変化を時間で微分すれば速度が、
速度変化を時間で微分すれば加速度が求まります。

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2017/04/04 23:24