現在、苑田先生から物理を教わっています。
1次元運動(位置をx、速度をv、加速度をaとおく)において微少量の関係
dx=vdt① ,dv=adt,vdv=adx⇔d(1/2v^2)=adxについて、それぞれ、両辺に時刻t0からt1への時間変化量を考える(積分する)と、
x1-x0=∫(t=t0→t=t1)vdt 、v1-v0=∫(t=t0→t1)adt、(v1^2)/2-(v0^2)/2=∫(x=x0→x1)adx
それぞれについてたとえば、①では、数学的には両辺に同じインテグラルをかけると∫(t=t0→t=t1)dx=∫t=t0→t=t1)vdt であり、
∫(t=t0→t=t1)dx=∫(x=x0→x1)dx=x1-x0という積分区間の変換を踏んでいると思ってよいですか?(そうすると、単調減少、増加の場合しか変換がうまくいかないようにも思えますが)
また、左辺というのは、dxの時刻t0からt1への変化量であり、それは、それぞれ対応する位置をx0、x1とおくならば、x1-x0となるというように考えても良いですか?
No.4ベストアンサー
- 回答日時:
No3です(^^)
「積分区間の変換」というものではありません。
t=t0 のとき x=x0 であり t=t1 のとき x=x1 だからそうするまでのことです。
ですから、単調減少、単調増加とは関係ありません。
例えば、不定積分から定積分に移行してみましょう。
dx=v(t)dt ・・・vを時間の関数としてv(t)としました。
不定積分して、
x(t)=∫v(t)dt + C =V(t) + C・・・C:積分定数 またxは時間の関数になるはずですのでx(t)としました。またV(t)はv(t)の原始関数です。
すると、t=t0 のとき x=x0 の条件があるから x(t0)=x0
x(t0)=V(t0) + C ∴C=x(t0)-V(t0)=x0-V(t0)
t=t1 のとき x=x1 だからx(t1)=x1
x(t1)=V(t1) + C = V(t1) + x(t0) -V(t0) → x1=V(t1) + x0 -V(t0)
したがって、
x(t1) - x(t0) = V(t1) -V(t0) → x1-x0=V(t1) -V(t0)
これを両辺、積分(定積分)の形に戻すと
∫(x=x0 → x=x1)dx = ∫(t=t0 → t=t1) vdt
となります。
もちろん、∫v(t)dt のv(t)に単調減少、単調増加などという条件はありませんね(^^)
No.3
- 回答日時:
普通に積分すればいいんです(^^)
・・・と言うか、「両辺に同じインテグラルをかけると」は間違った考え方です(^^;)
積分記号(インテグラル)はdxやdyと違って、”操作”を表すものですから、「かける」事ではありません。
つまり、t=t0 のとき x=x0 であり t=t1 のとき x=x1 ならば
①の定積分は
∫(x=x0 → x=x1)dx = ∫(t=t0 → t=t1) vdt
としなければなりません。
つまり
∫・・・dx ならばxについて積分して、それが定積分ならば、xの範囲で計算
∫・・・dy ならばyについて積分して、それが定積分ならば、yの範囲で計算
・・・などなど、です。
「左辺というのは、dxの時刻t0からt1への変化量であり、それは、それぞれ対応する位置をx0、x1とおくならば、x1-x0となるというように考えても良いですか?」
は、まさしくその通りで、上に書いた事から分かるように、それ以外にはなり得ません。
参考になれば幸いです(^^v)
No.2
- 回答日時:
もう少し形式にこだわって考えてみましょう。
>dx=vdt① ,dv=adt,vdv=adx⇔d(1/2v^2)=adx
このような形ではなく、次の形で考えます。
dx/dt=v
dv/dt=a
d(v^2/s)/dx=a
1番目の式をt:t0→t1の区間でtで積分すると
∫[t:t0→t1]dx/dt dt=∫[t:t0→t1] vdt
となります。この左辺は置換積分の公式から
∫[t:t0→t1]dx/dt dt=∫[x:x0→x1] dx
となります。この置換積分の計算を暗黙のうちに行っているのです。
通常置換積分による積分範囲の変換は少しばかり注意が必要だったりするのですが今回の場合は問題ありません。
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t=t0 のとき x=x0 であり t=t1 のとき x=x1 ならば
①の定積分は
∫(x=x0 → x=x1)dx = ∫(t=t0 → t=t1) vdt
としなければなりません。
>>
解答ありがとうございます。私が言う「積分区間の変換」をしなくてはならないということでしょうか?
また、∫(x=x0 → x=x1)dx こそが、「左辺というのは、dxの時刻t0からt1への変化量であり、それは、それぞれ対応する位置をx0、x1とおくならば、x1-x0となる」つまり、xの変位の差が出てくることに対応するという理解でよいですか?
解答ありがとうございます。
dx/dt=vのようにして積分すると考えると意味がわかりました。
積分区間の変換での単調性は考えなくて良いのでしょうか?