No.2ベストアンサー
- 回答日時:
摩擦や抵抗を無視できるのなら多少簡単になり,重心の水平速度がv0/2で,No.1さんのおっしゃるとおりそれに単振子の運動を加えたものになります。
A,Bの水平速度は0~v0の間を交換します。エネルギー保存と運動量保存を連立させれば,1階の微分方程式となりますが,微小振動でなければ手計算で解くのは無理でしょう。いずれにせよ,大学レベルになります。
なお,大学レベルに踏み込めば,ラグランジュの方程式というものを使うとさらにエレガントに運動方程式を立てることができます。
>いずれ両者とも同じ1/2vになるのは分かるのですが
摩擦や空気抵抗があれば,振動が減衰してそうなるということでしょうけれど,同時にv=0となりますね。
この回答へのお礼
お礼日時:2010/12/23 23:13
なるほど・・・運動量保存とエネルギー保存がどっちも成り立たないなぁと思っていたら・・・そういうことなんですね。わかりましたありがとうございます。
No.4
- 回答日時:
うまい方法があるのかもしれませんが、まずは力任せに・・・
x座標をAの静止点にとり、y座標を下向きにとります。
紐の長さR,紐の張力をT,垂直となす角をΘとします。
Aの運動方程式
y方向の運動はありません。
x方向の運動方程式 Ma d^2x / dt^2=T sinsΘ・・・・・・・・・・(1)
Bの運動方程式
y方向の運動方程式 Mb d^2y/dt^2= g Mb-T cosΘ・・・・・・・(2)
x方向の運動方程式 Mb d^2(x+R sinΘ) / dt^2=-T sinΘ・・・・・・・(3)
Mb d^2x/dt^2+Mb R (-sinΘdΘ/dt+cosΘd^2Θ/dt^2)=-T sinΘ ・・(3-1)
最初の条件から、Θ=π/2 より小さいのは確実ですが(3-1)式は難しくて解けません。
さらに、紐は棒ではないので、T>0 つまり圧縮力は負担出来ないので、
これも確認しておかないと解になりません。そこでとりあえず
Θが非常に小さくて、sinΘ≒Θ、cosΘ≒1 という場合にを考えると、(3)式は、
Mb d^2(x+R Θ) / dt^2=-T Θ・・・・・・・(3-2)
つまり、Mb { d^2x/dt^2+Rd^2Θ/dt^2)} =-T Θ ・・(3)'
また、
Mb d^2y/dt^2= g Mb-T ・・・・・・・・・・・・・・・(2)’
Ma d^2x / dt^2=TΘ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・(1)’
(1)’と(3)’から
(Ma+Mb)d^2x/dt^2=-MbR(d^2Θ/dt^2)
d^2x/dt^2=-{Mb/(Ma+Mb)}R(d^2Θ/dt^2) ・・・・・(4)
これを時間 t で積分して、初期条件 t=0のとき、 dx/dt=0、v=RdΘ/dt とすると、
dx/dt=-[ {Mb/(Ma+Mb)} { {v-(R(dΘ/dt)} ] ・・・・・(5)
この(5)式から分かるように、(dΘ/dt)が正の一定値をとり続けるということは
球Bがどんどん上がりレールに達することを意味してしまう。
だから一定値ではなく、途中で負の値とならねばならぬ。
また、Θは非常に小さいとした前提にも外れる。
どうやらレール上の速度は一定値に落ち着くわけではなさそうだ。
No.3
- 回答日時:
摩擦や抵抗がなく,ひもの振れ角が微小である場合は,ぎりぎり高校レベルで解けます。
運動量保存から,重心の水平速度はv0/2で一定。鉛直方向の速度は振れ角が小さいことにより無視できます。そこで,重心とともに動く立場で系のエネルギー保存を立てます。ひもの角変位をθとします。
2×1/2・m(r/2・dθ/dt)^2 - mgr cosθ = 2×1/2・m(v0/2)^2 - mgr
微小角の近似により,cosθ= 1-1/2・θ^2を用いて整理すると
1/2・(mr^2/2)・(dθ/dt)^2 + 1/2・(mgr)・θ^2 = mv0^2/4
これはθに関する単振動のエネルギー保存になっています。
dθ/dt = 0 により,θの振幅はθ0 = v0/√(2gr)。
振動の周期は,T = 2π√{ (mr^2/2) / (mgr) } = 2π√{ r / (2g) } となることがわかります。
No.1
- 回答日時:
こんにちは。
たぶん θ≪1 として考えるのだと思います。
(1)AとBの中点(重心)は、1/2・v の等速直線運動をします。
(2)そして、中点系で考えると、AとBは中点に対し、それぞれ単振り子と同様の動き(単振動)をします。
(1)+(2)がこたえです。
計算していませんが、AとBの質量が同じなので、たぶん、Aは動いたり止まったりを繰り返すのではないかと予想します。
>>>いずれ両者とも同じ1/2vになるのは分かるのですが、
いえ。いつまで経っても単振動は残ると思います。
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