物理：ひもでつながれた2物体の運動

どうしても分からないことがあったので質問します。

真ん中が開いたレールがあり、その上に質量mの球Aが乗っていて、開いた部分に長さrのひもを通して

その先に同じく質量mの球Bが繋がっています。

この状態で球Bに初速vを与えると、この2球はどのような運動をするのでしょうか。

いずれ両者とも同じ1/2vになるのは分かるのですが、その間にどのような運動をするのかが

分かりません。

高校生ですが微積物理でも大丈夫です。おねがいします。

No.2 ベストアンサー 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/12/23 18:12

摩擦や抵抗を無視できるのなら多少簡単になり，重心の水平速度がv0/2で，No.1さんのおっしゃるとおりそれに単振子の運動を加えたものになります。

A，Bの水平速度は0～v0の間を交換します。

エネルギー保存と運動量保存を連立させれば，１階の微分方程式となりますが，微小振動でなければ手計算で解くのは無理でしょう。いずれにせよ，大学レベルになります。

なお，大学レベルに踏み込めば，ラグランジュの方程式というものを使うとさらにエレガントに運動方程式を立てることができます。

>いずれ両者とも同じ1/2vになるのは分かるのですが

摩擦や空気抵抗があれば，振動が減衰してそうなるということでしょうけれど，同時にv=0となりますね。

この回答へのお礼

なるほど・・・運動量保存とエネルギー保存がどっちも成り立たないなぁと思っていたら・・・そういうことなんですね。わかりましたありがとうございます。

お礼日時：2010/12/23 23:13

No.4 回答者： do_ra_ne_ko 回答日時： 2010/12/23 19:48

うまい方法があるのかもしれませんが、まずは力任せに・・・

ｘ座標をＡの静止点にとり、ｙ座標を下向きにとります。
紐の長さＲ，紐の張力をＴ，垂直となす角をΘとします。

Ａの運動方程式
　ｙ方向の運動はありません。
　ｘ方向の運動方程式　　Ｍａ　d^2ｘ / dt^2＝Ｔ　sinｓΘ・・・・・・・・・・（１）

Ｂの運動方程式
　ｙ方向の運動方程式　　Ｍｂ　d^2y/dt^2＝ ｇ Mb－Ｔ　ｃｏｓΘ・・・・・・・（２）
　ｘ方向の運動方程式　　Ｍｂ　ｄ^2（x＋Ｒ sinΘ） / dt^2＝－Ｔ ｓｉｎΘ・・・・・・・（３）

Ｍｂ　ｄ^2x/dt^2＋Ｍｂ　Ｒ （－sinΘｄΘ/dt＋cosΘd^2Θ/dt^2）＝－Ｔ ｓｉｎΘ　・・（３－１）

最初の条件から、Θ＝π/2　より小さいのは確実ですが（３－１）式は難しくて解けません。
さらに、紐は棒ではないので、Ｔ＞０　つまり圧縮力は負担出来ないので、
これも確認しておかないと解になりません。そこでとりあえず

　Θが非常に小さくて、sinΘ≒Θ、cosΘ≒１　という場合にを考えると、(３)式は、
　　　　Ｍｂ　ｄ^2（x＋Ｒ Θ） / dt^2＝－Ｔ Θ・・・・・・・（３－２）

つまり、Ｍｂ　{ ｄ^2x/dt^2＋Ｒd^2Θ/dt^2）} ＝－Ｔ Θ　・・（３）'
また、
　　　Ｍｂ　d^2y/dt^2＝ ｇ Mb－Ｔ　・・・・・・・・・・・・・・・（２）’
　　　Ｍａ　d^2ｘ / dt^2＝ＴΘ・・・・・・・・・・・・・・・・・・・・（１）’

（１）’と（３）’から
　　　　（Ｍａ＋Ｍｂ）ｄ^2x/dt^2＝－ＭｂＲ（ｄ＾２Θ/dt^2）　
　　　　ｄ^2x/dt^2＝－｛Ｍｂ/(Ｍａ＋Ｍｂ）}Ｒ（ｄ＾２Θ/dt^2）　・・・・・（４）

これを時間　ｔ　で積分して、初期条件　ｔ＝０のとき、　ｄｘ/ｄｔ＝０、ｖ＝ＲｄΘ/dt とすると、

　　　　ｄx/dt＝－[ ｛Ｍｂ/(Ｍａ＋Ｍｂ）} { ｛ｖ－（Ｒ（ｄΘ/dt）｝ ]　・・・・・（５）

この（５）式から分かるように、(ｄΘ/ｄｔ）が正の一定値をとり続けるということは
球Ｂがどんどん上がりレールに達することを意味してしまう。
だから一定値ではなく、途中で負の値とならねばならぬ。
また、Θは非常に小さいとした前提にも外れる。

どうやらレール上の速度は一定値に落ち着くわけではなさそうだ。


　
　　　　　　

No.3 回答者： yokkun831 回答日時： 2010/12/23 19:42

摩擦や抵抗がなく，ひもの振れ角が微小である場合は，ぎりぎり高校レベルで解けます。

運動量保存から，重心の水平速度はv0/2で一定。鉛直方向の速度は振れ角が小さいことにより無視できます。そこで，重心とともに動く立場で系のエネルギー保存を立てます。ひもの角変位をθとします。

2×1/2・m(r/2・dθ/dt)^2 - mgr cosθ = 2×1/2・m(v0/2)^2 - mgr

微小角の近似により，cosθ= 1-1/2・θ^2を用いて整理すると
1/2・(mr^2/2)・(dθ/dt)^2 + 1/2・(mgr)・θ^2 = mv0^2/4
これはθに関する単振動のエネルギー保存になっています。
dθ/dt = 0 により，θの振幅はθ0 = v0/√(2gr)。
振動の周期は，T = 2π√{ (mr^2/2) / (mgr) } = 2π√{ r / (2g) } となることがわかります。

No.1 回答者： sanori 回答日時： 2010/12/23 17:28

こんにちは。

たぶん　θ≪１　として考えるのだと思います。

（１）ＡとＢの中点（重心）は、１／２・ｖ　の等速直線運動をします。

（２）そして、中点系で考えると、ＡとＢは中点に対し、それぞれ単振り子と同様の動き（単振動）をします。

（１）＋（２）がこたえです。

計算していませんが、ＡとＢの質量が同じなので、たぶん、Ａは動いたり止まったりを繰り返すのではないかと予想します。

＞＞＞いずれ両者とも同じ1/2vになるのは分かるのですが、

いえ。いつまで経っても単振動は残ると思います。