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x軸上を運動する質量2 kgの物体がある。この物体は,時刻tにx(t)の位置にいて速度v(t)で動い
ているとする。この物体にはF = −2v(t) + 6という力が作用するとする。物体がt = 0のときに
原点にいて,v(0) = 10の速度で運動していた場合,物体にt = 0において生じる加速度の大きさ
は ⑮ であり, t = 1のときの
この物体の位置は,x(1) = ⑯ −⑰/e
となる。一方,物体
がt = 2のときに原点にいて,v(2) = 3の速度で運動していたとすると, t = ⑱のときに,物
体の速度が v( ⑱) = ⑲であり, x( ⑲) = 6の位置にいることになる。

答え⑮7 ⑯10 ⑰2 ⑱4 ⑲3

⑱からどうやって解けばいいのか分かりません

A 回答 (2件)

物体の加速度を


 a(t) = dv/dt = d²x/dt²
とすると、運動方程式 F=ma は
 -2v(t) + 6 = ma = m・dv/dt
と書けます。
面倒なので v(t) は m/s、F は N、t は s (秒) の単位だとして、m = 2 を数値として代入してしまえば
 -2v + 6 = 2dv/dt
→ dv/dt = -v + 3

この微分方程式は、変数分離して
 ∫[1/(v - 3)]dv = -∫dt
→ log|v - 3| = -t + C1 (C1:積分定数)
→ v - 3 = ±e^(-t + C1) = ±e^C1 * e^(-t)
     = C*e^(-t)  (C = ±e^C1)
となるので、
 v(t) = C*e^(-t) + 3   ①

t=0 のとき v(0)=10 なので
 v(0) = C + 3 = 10
→ C = 7

よって①は
 v(t) = 7e^(-t) + 3    ②

従って、
 a(t) = dv/dt = -7e^(-t)
よって
 a(0) = -7    ←「15」。ただし「大きさ」なら |a(0)| = 7

一方
 x(t) = ∫v(t)dt = -7e^(-t) + 3t + C2   ③
t=0 のとき x(0) = 0 なので
 x(0) = -7 + C2 = 0
→ C2 = 7

よって③は
 x(t) = -7e^(-t) + 3t + 7
従って
 x(1) = -7/e + 10    ←「16」「17」

*******************************

ここから先は、初期条件が変わるので、式そのものが変わる。
上の①式以降が全て変わる。

>物体がt = 2のときに原点にいて、v(2) = 3の速度で運動していたとする

まずは、①で t=2 のとき v(2) = 3 なので、①より
 v(2) = C/e^2 + 3 = 3
これは
 C = 0
ということ。
従って
 v(t) = 3    ④

このとき物体に働く力は
 F(t) = -6 + 6 = 0
なので、これ以降「等速直線運動」を行うことになる。

従って
 x(t) = 3t + C3   ⑤
t = 2 のとき x(2) = 0 なら
 x(2) = 6 + C3 = 0
→ C3 = -6
よって⑤は
 x(t) = 3t - 6    ⑥

問題が面倒くさいが、値が最初に定まるのは「19」で、⑥より
 x(t19) = 3*t19 - 6 = 6
より
 t19 = 4

このとき、④式より
 v(t19) = v(4) = 3


質問者さんの書かれている「問題文」はおそらく間違いで、

> t = ⑱のときに,物体の速度が v( ⑱) = ⑲であり, x( ⑲) = 6の位置にいることになる。


t = ⑱のときに,物体の速度が v( ⑱) = ⑲であり, x(⑱) = 6の位置にいることになる。

ではありませんか?
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運動方程式


ma=-2v+6
を境界条件、x(0)=0、v(0)=10
で解くだけ。

定数係数線形微分方程式の
典型的で平凡な問題だけど・・・

複素関数論終えているならラプラス変換を推奨。
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