物体に一定の大きさfの力をx軸の正の向きに加える。またこの物体には抵抗係数がγの速度に比例する抵抗力

物体に一定の大きさfの力をx軸の正の向きに加える。またこの物体には抵抗係数がγの速度に比例する抵抗力働くものとする

(1)物体の運動方程式を立てよ
　　md^2x/dt^2=f-γvx

(2)一般解を求めよ
　　mdvx/dt=f-γvx
　　dvx/f-γvx=(1/m)dt
　　(-1/γ)log|f-γvx=(t/m)+C1
　　f-γvx=±e^{(-γt/m)-γC1}
　　vx=±(e/γ){(-γt/m)-γC1}+f/γ
　　vx=C2(e/γ)^(-γt/m)+f/γ

　　dx/dt= C2(e/γ)^(-γt/m)+f/γ
　　dx= {C2(e/γ)^(-γt/m)+f/γ｝dt
　　x=(ft/γ)-{C2me^(-γt/m)/γ^2}+C3

これが一般解と答えたのですが、ワークの解答だと
　　x=(ft/γ)-{mC3‘e^(-γt/m)/γ^2}+C4となっています。自分のでも正解ですか？
Cの置き換え方が違うのでC2やC3’という形が変わって他の文字も少し変わりそうなのですが同じなので変に感じます。一般解は何をCで置くかでいろいろ出てくるものが違うと聞いたので気になります。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/06 10:41

＞自分のでも正解ですか？

はい。
正解ではありますが、「ワークの解答」も含めて、もっと定数を整理して
（あとは、「定数」と「変数」をきちんと書き分けた方が見やすい）

x = (f/γ)t + C1･e^[-(γ/m)t] + C2

のようにするのが普通でしょう。
定数はどのようにまとめてもよいので、「最もシンプルに」書けばよいです。
あとは、初期条件を適用して確定すればよいだけ。


ところで、あなたの途中式は、おそらく写し間違いだと思いますが、ところどころ間違っています。（vx はめんどうなので v と書きます）

＞(2)一般解を求めよ
＞　　mdvx/dt=f-γvx
＞　　dvx/f-γvx=(1/m)dt　　　←左辺は dv/(f - γv) ですね？
＞　　(-1/γ)log|f-γvx=(t/m)+C1　　←左辺に「絶対値」の片割れが抜け
＞　　f-γvx=±e^{(-γt/m)-γC1}
＞　　vx=±(e/γ){(-γt/m)-γC1}+f/γ
＞　　vx=C2(e/γ)^(-γt/m)+f/γ　　　←「(e/γ)^」というのはおかしい

この結果は
v = C2'･e^[(-γ/m)t] + f/γ　　（C2' = ±(1/γ)e^(-γC1)　）

要するに「時定数 -γ/m で一定値 f/γ に収束していく指数関数」ということです。
C2' は、t=0 のときの初速に関係した値になります。
つまり、t=0 の初速を v0 とすれば
　v0 = C2' + f/γ
→　C2' = v0 - f/γ
です。
初速 0 の自由落下であれば v0=0 で
　C2' = -f/γ
です。


＞　　dx/dt= C2(e/γ)^(-γt/m)+f/γ

　→　dx/dt = C2'･e^[(-γ/m)t] + f/γ

＞　　dx= {C2(e/γ)^(-γt/m)+f/γ｝dt
＞　　x=(ft/γ)-{C2me^(-γt/m)/γ^2}+C3

　→　x = -(C2'･ｍ/γ)e^[(-γ/m)t] + (f/γ)t + C4
　　　　= C3･e^[(-γ/m)t] + (f/γ)t + C4　　　（C3 = -C2'･ｍ/γ）

C4 は「初期位置」に関係する定数になります。
t=0 のとき x=0 とする「変位」であれば、t=0 を代入して
　0 = C3 + C4
→　C4 = -C3
になります。
t=0 のとき「高さ 8000 m」だとすれば、x は「高さ」であり
　8000 = C3 + C4
→　C4 = 8000 - C3
です。


質問者さんは、上記の C2' を
　C2 = γC2’
と置いているみたいですね。

ワークの解答では
　あなたの C2 → ワークでは C3'
　あなたの C3 → ワークでは C4
にしているだけで、同じ式です。

それにしても、「定数と変数を分ける」「e^○〇　の階乗の部分と、係数とをきちんと分ける」ことをしないと、目がちらちらして式の形を判別しにくいし、書き間違いやすいし、あなたの途中計算のようにぐじゃぐじゃになります。
そして、書き間違いを防ぐためにも、定数はどんどん単純な記載に変えていった方がよいです。どうせ、最終的に「初期条件」で値を確定するだけのものですから。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/07/06 10:29

(2)

>自分のでも正解ですか？<
●滅茶苦茶です。
　　mdv/dt=f-γv
　　dv/f-γv=(1/m)dt → dv=((f/m)-(γ/m)v)dt
これでは変数分離できず積分できない。

　　mdv/dt=f-γv → md(v-f/γ)/dt=-γ(v-f/γ)
→ d(v-f/γ)/(v-f/γ)=-(γ/m)dt
→ log|(v-f/γ)|=-(γ/m)t+C'
→ v-f/γ=Cexp(-(γ/m)t)

vを積分して
　x-(f/γ)t=C₁exp(-(γ/m)t)+C₂
　　
ちなみに　C/(-(γ/m)) → C₁