抵抗力と一定の力fが働く場合の物体の運動について、一般解をx=ft/γ+C3e^(-γt/m)+C4

抵抗力と一定の力fが働く場合の物体の運動について、一般解をx=ft/γ+C3e^(-γt/m)+C4と書いた時、以下の初期条件について解を求めよ。ただし、a>0、v0>0とする。

(1)時刻t=0でx=a、vx=-v0 できました、

(2)終端速度　　これはt=∞代入で解けますよね？

(3)x座標の値の最小値を求めよ　これがわかりません。

(3)を詳しく教えてほしいです。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2023/07/13 10:12

既に一般解が与えられているのだから、あとは「初期条件」を適用して「積分定数」（この質問の場合には C3 と C4）を確定するだけの話です。

この問題の (1)～(3) は連続して関連しているのか、個別なのかよくわからないので、「個別」として書きます。
必要なら、(3) の解に (1) で求めた定数の値を代入してください。

なお、(3) はおそらく数学で学んでいるであろう「関数の極大、極小」「関数の増減表」を応用しますよ。
他で習ったことを最大限に活用するのが「応用力」「問題解決力」です。

共通に書き出しておけば、vx は面倒なので v と書いて
　x(t) = (f/γ)t + C3･e^[-(γ/m)t] + C4　　　　　①
　v(t) = dx/dt = (f/γ) - C3･(γ/m)e^[-(γ/m)t]　　　②

(1) ①②に t=０ を代入すれば
　x(0) = (f/γ)･0 + C3･e^0 + C4 = C3 + C4 = a　　　③
　v(0) = (f/γ) - C3･(γ/m)e^0 = (f/γ) - C3･(γ/m) = -v0
　　→　C3 = fm/γ^2 + m･v0/γ
これを③に代入すれば
　C4 = a - C3 = a - fm/γ^2 - m･v0/γ

よって
　x(t) = (f/γ)t + [fm/γ^2 + m･v0/γ]･e^[-(γ/m)t] + a - fm/γ^2 - m･v0/γ

＞(2)終端速度　　これはt=∞代入で解けますよね？

はい。
② で t → ∞ として
　x(t → ∞) → f/γ

(3) x が極大または極小になる必要条件は、数学で勉強したとおり
　dx/dt = 0
です。
これは②より
　dx/dt = (f/γ) - C3･(γ/m)e^[-(γ/m)t] = 0
→　e^[-(γ/m)t] = f/(C3･γ)　　　　　　　　　④
両辺の対数を取れば
　-(γ/m)t = log[f/(C3･γ)]
→　t = -(m/γ)log[f/(C3･γ)] = T と書きます　　　　　　④'

ただし、これだけでは「極大」か「極小」か分からないので、二次微分をとって
　d²x/dt² = C3･(γ/m)^2･e^[-(γ/m)t]
④を使えば、e^[-(γ/m)T] = f/(C3･γ) なので
　d²x/dt²(t=T) = C3･(γ/m)^2･f/(C3･γ) = fγ/m^2 > 0
従って④' の T は「極小」になる t の値です。

あとは、詳しくは「x の増減表」を書いてみれば分かるとおり（ここでは省略）、t=T では「最小」になります。

従って、そのときの x の値（最小値）は
　x(T) = (f/γ){-(m/γ)log[f/(C3･γ)]} + C3･f/(C3･γ) + C4
　　　= -(fm/γ^2)log[f/(C3･γ)] + f/γ + C4

式の変形途中で間違いがあるかも。

No.1 回答者： HONTE 回答日時： 2023/07/13 08:29

もう少々お待ち下さい。