No.2ベストアンサー
- 回答日時:
既に一般解が与えられているのだから、あとは「初期条件」を適用して「積分定数」(この質問の場合には C3 と C4)を確定するだけの話です。
この問題の (1)~(3) は連続して関連しているのか、個別なのかよくわからないので、「個別」として書きます。
必要なら、(3) の解に (1) で求めた定数の値を代入してください。
なお、(3) はおそらく数学で学んでいるであろう「関数の極大、極小」「関数の増減表」を応用しますよ。
他で習ったことを最大限に活用するのが「応用力」「問題解決力」です。
共通に書き出しておけば、vx は面倒なので v と書いて
x(t) = (f/γ)t + C3・e^[-(γ/m)t] + C4 ①
v(t) = dx/dt = (f/γ) - C3・(γ/m)e^[-(γ/m)t] ②
(1) ①②に t=0 を代入すれば
x(0) = (f/γ)・0 + C3・e^0 + C4 = C3 + C4 = a ③
v(0) = (f/γ) - C3・(γ/m)e^0 = (f/γ) - C3・(γ/m) = -v0
→ C3 = fm/γ^2 + m・v0/γ
これを③に代入すれば
C4 = a - C3 = a - fm/γ^2 - m・v0/γ
よって
x(t) = (f/γ)t + [fm/γ^2 + m・v0/γ]・e^[-(γ/m)t] + a - fm/γ^2 - m・v0/γ
>(2)終端速度 これはt=∞代入で解けますよね?
はい。
② で t → ∞ として
x(t → ∞) → f/γ
(3) x が極大または極小になる必要条件は、数学で勉強したとおり
dx/dt = 0
です。
これは②より
dx/dt = (f/γ) - C3・(γ/m)e^[-(γ/m)t] = 0
→ e^[-(γ/m)t] = f/(C3・γ) ④
両辺の対数を取れば
-(γ/m)t = log[f/(C3・γ)]
→ t = -(m/γ)log[f/(C3・γ)] = T と書きます ④'
ただし、これだけでは「極大」か「極小」か分からないので、二次微分をとって
d²x/dt² = C3・(γ/m)^2・e^[-(γ/m)t]
④を使えば、e^[-(γ/m)T] = f/(C3・γ) なので
d²x/dt²(t=T) = C3・(γ/m)^2・f/(C3・γ) = fγ/m^2 > 0
従って④' の T は「極小」になる t の値です。
あとは、詳しくは「x の増減表」を書いてみれば分かるとおり(ここでは省略)、t=T では「最小」になります。
従って、そのときの x の値(最小値)は
x(T) = (f/γ){-(m/γ)log[f/(C3・γ)]} + C3・f/(C3・γ) + C4
= -(fm/γ^2)log[f/(C3・γ)] + f/γ + C4
式の変形途中で間違いがあるかも。
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