天体に自由落下する。

(前置き)
ニュートン力学ではなく、一般相対性理論で、
次のことを教えてください。私の永久保存盤にします。

観測者の立場をどのようにするかもおまかせします。
だこら、観測者をあいまいにして書きます。また、天体がブラックホールなどと、たいそうなことは聞きません。普通の天体におけるニュートン力学で近似しない厳密な数式を知りたいです
前置き終わり。

自転しない質量がMの球対象の天体があるとして、初期条件として、時間0のときには、天体の重心からRの位置で静止している質量mの物体があるとします。

この物体が静止をやめて
天体への自由落下をはじめます。
(初速0の状態から自由落下)

この場合の
位置と時間、位置と速度、
速度と時間の関係式を教えてください。
(どんな立場での式かも教えてください)

質問者からの補足コメント

• 訂正
  
  ✕だこら、
  ↓
  ○だから、

    補足日時：2023/06/01 21:27

• たとえば、無限遠で、静止している立場(座標)でいうと、どうなりますか。
  
  微分の書き方はいりません。
  
  位置x、速度v、時間t。これでお願いします。
  xとtの関係式。
  vとtの関係式。
  xとvの関係式。

    補足日時：2023/06/04 20:53

No.1 回答者： kantansi 回答日時： 2023/06/02 12:05

一般相対性理論における自由落下運動の場合、質量がMの球状の天体の近傍にある質量mの物体が自由落下を始める場合を考えます。

以下、質量mの物体の自由落下の挙動に関する関係式を説明します。

位置と時間の関係式（物体の位置の時間変化）は、自由落下の場合でもニュートン力学の一般的な関係式である「運動方程式」が適用されます。この場合、物体の位置を表す変数をx(t)とし、時間をtとします。運動方程式は以下のように表されます：

m(d^2x/dt^2) = -GMm/x^2

ここで、Gは万有引力定数、Mは天体の質量、xは物体の位置です。この関係式は、物体が天体に引かれて自由落下する際の運動方程式を表しています。

速度と時間の関係式は、位置と時間の関係式を微分することで得られます。物体の速度を表す変数をv(t)とすると、速度と時間の関係式は以下のようになります：

v(t) = dx(t)/dt

これは物体の速度が時間の関数として表される式です。

位置と速度の関係式は、位置の時間微分を速度と表現することで得られます。物体の位置を表す変数をx(t)、速度を表す変数をv(t)とすると、位置と速度の関係式は以下のようになります：

v(t) = dx(t)/dt

これらの関係式は一般相対性理論の自由落下運動において、物体の位置、速度、時間の関係を表現するための基本的な式となります。