球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2 を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2
を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

No.2 ベストアンサー 回答者： yhr2 回答日時： 2018/01/23 10:30

慣性モーメントは、「全体の質量：M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。

この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
　ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)　　　①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積：4パイr^2」に「暑さ：dr」を掛けたものが球殻の体積です。
　dV = 4パイr^2 dr　　　②

これと、①の密度を使えば、この「薄い球殻」の質量は
　dm = ρ*dV = 4パイρr^2 dr　　　③
となります。

この球殻の慣性モーメントが、問題で与えられた式になります。与えられた式の「M」（球殻の質量）が、③の「dm」に相当するわけです。当然、与えられた式の「R」が③の「r」に相当します。

従って、球殻の慣性モーメント dI は
　dI = (2/3)dm*r^2 = (8/3)パイρr^4 dr
と書けることになります。

球全体では、これを r : 0～L (L：球の半径）に積分すればよく
　I = ∫[0→L]dI = (8/3)パイρ∫[0→L]r^4 dr
　　= (8/3)パイρ[r^5 /5][0→L]
　　= (8/15)パイρL^5

これを、①を使って「球の質量」で表せば
　ρ = 3M/(4パイL^3)
ですから
　I = (2/5)ML^2

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2018/01/23 09:18

密度をρとします。

(当然ρ=3M/(4πR^3)です)

半径r～r+drの球殻の体積は4πr^2drですのでこの部分の質量は4πr^2*ρdrです。
球殻の質量から慣性モーメントを求め、足し合わせる(積分する)と求める球の慣性モーメントが得られます。