力学のエネルギー保存、運動量保存について

力学のエネルギー保存、運動量保存について、分からないことがあります。

① (4) について、なぜ W=1/2M(V0)^2 ではだめなのでしょうか？
② AとBがそれぞれ運動するのはお互いの作用反作用の力なのに、なぜ 1/2m(v0)^2 = 1/2M(V0)^2 ではないのでしょうか？
③ (5) について、水平方向の運動量保存則を使っていますが、なぜ鉛直方向については運動量保存則が成立しないのにも関わらず使ってよいのでしょうか？

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/24 11:10

>②作用・反作用の法則から、AとBが同じエネルギーが受け取ることは

導けない。

一応証明しておきます。

例えば、仮に AとB間に F=10 N の力が Δt = 0.1 秒 かかったとしましょう。

作用反作用の法則から、AとBには反対向きで同じ大きさの力が
同じ時間かかりますから
A, B　に加わる力積は P = F × Δt = 1 m・s です。

初速ゼロの物体に力積 P が加わると、物体の速さは
P/質量
になるので

A の投げ出した直後の速さは V0 = P / M
B の投げ出した直後の速さは v0 = P / m

A の運動エネルギー= (1/2)MV0^2 = (1/2)P^2/M
B の運動エネルギー= (1/2)mv0^2 = (1/2)P^2/m

もし M > m ならば
B の運動エネルギー > A の運動エネルギー

以上のように、作用反作用によって、エネルギーはA, B に
等分配されません。軽い方がより大きなエネルギーを受け取るのです。

別の言い方をすれば、同じ力で押した場合、軽いものの方が
より大きなエネルギーを同じ時間で受け取るのです。

力が同じだからエネルギーも同じというのは短絡思考なので
注意しましょう。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/07/22 21:47

① AとBの両方が受け取るエネルギーを計算しよう。

②作用・反作用の法則から、AとBが同じエネルギーが受け取ることは導けない。
③運動量(ベクトル)の変化量は系(AとB)の受けた力積(ベクトル量)になる。
AとBは重力と垂直抗力しか受けないから力積も垂直成分しかなく、従って運動量の水平成分は変化しない。

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/07/22 15:17

①問題は、言い換えるとA、Bが分裂するために必要なエネルギーを聞いています

分裂直後、AとBは運動エネルギーをそれぞれ持っているのですから、分裂するまさにその時、Aは相応のエネルギーを与えられ、Bも相応のエネルギーを与えられた→それによって分裂が題意のように起こったわけです
ですから、BだけでなくAの運動エネルギーも考慮する必要があります

②力が等しいからといってそれだけでは運動エネルギーは等しくなりません
同じ大きさの力を同じ時間だけ作用させた場合、より軽い物体のほうが加速されやすいわけですから、より軽い物体のほうが速度は大きくなります
すると
運動エネルギー＝(1/2)mV²について
V²部分はより軽いほうが大きな値になることがわかります
反対に、mの部分は、より重い物体のほうが大きな値です
従って、軽い物体と重い物体の運動エネルギーを比較すると
それぞれの質量及び、分裂直後の速度の２乗の値がどうなっているかによってエネルギーの大小関係は変わってくるということになるのです

③について
運動量変化は力積に等しい
これを、これらの物理量がベクトルである事に注意して式にすると
m(→V)-m(→V₀)＝(→F)Δt
(ただし、mはある物体の質量、→V、→V₀は速度ベクトル、右辺はある物体にかかる力積)
です
この式の各ベクトルを成分になおすと
(a、b)-(ｃ、d)＝(e、g)
今、外力が水平方向に働いていないとすれば、力積の水平成分は0だから
(a、b)-(ｃ、d)＝(0、g)
ゆえに、水平成分だけ考えると
a-ｃ＝0↔a＝ｃ
すなわち、水平方向に外力が働かないなら、運動量ベクトルの水平成分は変化しないということになります

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2024/07/22 15:10

＞① (4) について、なぜ W=1/2M(V0)^2 ではだめなのでしょうか？

それは「A」だけの運動エネルギーであり、「B」の運動エネルギーが抜けています。
両方の合計のエネルギーが必要です。

＞② AとBがそれぞれ運動するのはお互いの作用反作用の力なのに、なぜ 1/2m(v0)^2 = 1/2M(V0)^2 ではないのでしょうか？

「作用・反作用」は働く力の話であって、エネルギーとは違います。
力が同じでも、「運動方程式」から分かるように「質量」によって「加速度」が違いますから、「速さ」が異なり、従って運動エネルギーは異なります。
（正確には「運動方程式」ではなく「力積」を使います。力積が等しい＝運動量が等しい → 速さは質量に反比例）

＞③ (5) について、水平方向の運動量保存則を使っていますが、なぜ鉛直方向については運動量保存則が成立しないのにも関わらず使ってよいのでしょうか？

鉛直方向にも運動量保存則は成り立ちますよ？
「動かない床」があるから考えていないだけです。
「地球」も動くと考えれば、地球と「物体Ａ」との間に運動量保存則が成り立っています。質量差がありすぎて「地球は静止したまま」に見えるだけ。