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こんにちは、いつもお世話になっております。

ある形状の慣性モーメントの求め方について困っておりまして、ご教示下さい。
ある問題で図のグレーの部分の慣性モーメント I (灰色)を求めるというのに出会いました。
図のとおりなのですが、いわゆるカムと呼ばれるものと認識しております(間違っていたらすみません)。
回転の軸が、グレーの円盤の中心ではなく、少しずれた位置、R/2ずれた位置にあります。
質量は、円盤が完全な空洞のない状態の場合、M、でして、実際は四分の一が抜けているため、
3/4 Mとお考え下さい。

模範解答では、
まず、グレーの円盤が完全なものだとした場合の慣性モーメントI (大円盤)を、平行軸の定理から求めます。
次に抜けている部分(直径R、半径R/2の小さな円盤)があったとした場合を考え、その小さな円盤の慣性モーメント I (小円盤)を求めます。
そして、I (大円盤) - I (小円盤)が求めるべき慣性モーメント I (灰色)だというように記載がありました ・・・・(1)

つまり、
I(大円盤) = 1/2 MR^2 + 1/4 MR^2 (平行軸の定理)
I (小円盤) については、
質量がM/4で、半径がR/2であるため、
I (小円盤) = 1/2 (M/4) (R/2)^2

したがって、
I (灰色) = 1/2 MR^2 + 1/4 MR^2 - 1/2 (M/4) (R/2)^2
= 23/32 MR^2

となります。しかしながら、ここで、小円盤が抜けている
灰色の部分の質量は、3/4 Mであるため、
実際は、I (灰色) = 23/32 x {(M ÷ 3/4 (M)} R^2 = 23/24 MR^2 ・・・・(2)

となり、答えは、

23/24 MR^2

でした。


ここで、私の疑問です。
まず、(1)の箇所で、なぜこのように単純に慣性モーメントの差を
求めるべき灰色の物体の慣性モーメントとしていいよいのでしょうか。
そうだと言われれば、それまでなのですが、積分計算して確かめてみたいです。
しかし、回転軸が中心からずれていることから、計算式の立て方が分かりません。
お教え頂けないでしょうか。

次に、(2)の箇所です。なぜ灰色部分の質量を考え「直す」必要があるのか分かりません。
すでに(1)の段階で差し引きをしていることから、灰色の部分の質量はすでに加味されている
と漠然ですが、考えてしまいます。しかも、Mの代わりに、3/4Mを代入するのではなく、
なぜかMを3/4Mで割っており、余計に混乱してしまいました。

悩み続けておりますが、どうにも答えが出ません。模範解答は
「灰色の部分の質量は、3/4 Mであるため、」としか書いておらず、
助けになりません。

どうか、ご教示下さい。お願いします。

なお、以上の数式や表現(たとえば、 I(大円盤)など)は
テキストで上付きや下付きができなかったため、このようにさせて頂きました。
分かり辛いようでしたら、改めて書き直しますゆえ、どうぞ宜しくお願いします。

「この物体の慣性モーメント」の質問画像

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A 回答 (2件)

モーメントの差になるのは


∫[灰色の部分]r^2dm=∫[全体]r^2dm-∫[白色の部分]r^2dm
と積分する領域の差として記述できます

最後の3/4で割るのは、違うのかもしれませんが、
灰色の部分の質量がMとしたときの慣性モーメントを公式のように出して
後の方で引用したいのかと思いましたが、
ここだけの記述では正しいのかどうかは判断できません
(そうするこんとにより、小円盤のモーメント+灰色部分のモーメントでこの物体全体(灰色の部分がない小円盤をふくんだ)のモーメントの計算がしやすいかと)

そうでなければあなたの仰られていることはもっともだと思います。
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この回答へのお礼

お返事を送るのを失念しておりました。失礼致しました。回答ありがとう御座います。おかげさまで解決しました。

お礼日時:2011/10/16 01:01

おそらく、問題が、最初は灰色のところの質量がM、となっているのではないでしょうか。


これを計算が煩雑になるため、円盤が完全な空洞のない状態の場合Mとして計算し、最後に変換していると。

灰色のところの質量をM'とするとM'=3/4MからM=4/3M'

I (灰色) = 23/32 MR^2 = 23/32 x 4/3M' R^2 = 23/24 M'R^2
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この回答へのお礼

ありがとう御座いました。

お礼日時:2011/10/16 01:02

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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

J=(mR^2)/2
となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

Aベストアンサー

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
J=(πρR^4)/2 (9)

になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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 慣性モーメントは、ある回転軸を決めれば、そこからの距離rに質量mの重り(大きさは無視できるとする)があれば、mr^2(^2は2乗を表す記法で、エクセルでも使える)になります。

 重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます(Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号)。

 回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です(そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろあり過ぎてしまう)。重りを●で表すと以下の感じですね。

  ●
●┼●
  ●

 これが固定されずに回るなら、この画面に対して水平に回るか(┼ →X→┼ のようになる)、上下の●は動かずに左右の●が画面に対して垂直に動き出すか(┼の縦の|は真っ直ぐ立ったまま横棒の―がくるくる回る)の2種類があります。それ以外の回し方をしようとしても安定せず、その二つのどちらかに落ち着きます。

 画面に対して水平に回るなら、質量mの●が中心からrの距離に4つですから、慣性モーメントIはmr^2が4つ、つまり4mr^2です。設問者が意図しているのは、おそらくこちらでしょう。

 しかし、上下の●二つが動かない(自転はする)場合も考えておいてもいいかと思います。もし設問者がそう意図していないとしても、そう考えていけない理由はないからです。その場合は、2個の●が中心からrの距離で回るわけですから、2mr^2です。

P.S.

 実はまだあります。斜めで回るのでもよいのです。

● ●
 *
● ●

 これで、*の縦棒を軸として回る場合です。これも自由に回転させた場合に可能な回り方です。

 この場合、●の*の縦棒から距離となります。それぞれが90度の角度でしたから、●は回転軸から(sin45°)×rだけ離れています。sin45°=1/√2を使って、4×m{(sin45°)×r}=4mr^2/√2=2√2×mr^2となります。

 これはP.S.としてお示ししたのはわけがあります。4mr^2>2√2×mr^2>2mr^2ですね。この先習うかもしれませんが、安定して回転するためには、慣性モーメントの値が最大か、最小になる必要があります。最初の二つは慣性モーメントの値が最大、最小になるものですので、そのように回せば、多少乱されてもあまり姿勢が変わらず、安定します。

 このP.S.で扱った回り方では、慣性モーメントの値が中間です。この回り方をしていて、少しでも乱されたら(例えば、空気中だと必ず乱される)、回り方がどんどん変化してしまいます。安定させるためには使えない回り方ということで、最初の二つに対して参考までにお示ししました。

 慣性モーメントは、ある回転軸を決めれば、そこからの距離rに質量mの重り(大きさは無視できるとする)があれば、mr^2(^2は2乗を表す記法で、エクセルでも使える)になります。

 重りがいくつもあれば、Σmr^2と表されます(Σは本当は上下に何をいくつ足すかを記して、全部の和を表す記号)。

 回転軸を固定するなら、それでよいのですが、お示しの問題はおそらく、自由に回転したときの慣性モーメントを求めるという問題です(そうでなければ、たとえばずっと遠くに固定した回転軸でも構わなくて、いろいろ...続きを読む


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