物理模試の問題

Question

お尋ねします。

滑らかな台（質量m）の上に針金を半円に曲げ固定。
そこに小球（質量m、大きさ、摩擦、抵抗無視）を取り付け運動させる。

小球が針金から受ける力を、半円の中心から小球の向きを正としてFとする。
θは小球と円の中心を結ぶ線分と鉛直線のなす角。

真上から小球を離した後、台の速度が時間とともにどう変化するかという問題です。

解説は以下のようにあります。
t=0で直後からA<0で、絶対値Aは0から近い値から次第に増加。V<でＶの絶対値は増加。θがπ/2に達する前にFの符号が反転し、A>0となり、絶対値Vは減少。θ=π/2、そのときにV=0となる。

まず、なぜFの符号が反転するのでしょうか？
また、最後にV=0と言えるのはどうしてでしょうか？

高校生レベルで教えてください！

yhr2 · Accepted Answer

No.2 です。
理解できたようで、何よりです。

「お礼」に書かれたことについて。

＞いただいた文章の中で、
＞「つまり、最後のところは重力で針金を右向きに押している」とありますがここだけ理解が出来ません。

ちょっとわかりづらいですが、たとえば走っている電車の中でボールを静かに放すと、電車の中では「まっすぐ下に落ちる」ように見えます。
でも、電車の外から見ると、ボールは電車の進行方向に「斜めに」落ちていますよね。
ということは、電車の外から見て「真下に落ちている」ものは、電車の中では進行方向と逆の「後ろ斜めに落ちて」いきます。
それを、電車の中で鉛直に立った針金を通して落とせば、「後ろ斜めに落ちようとする」ので、針金を「後ろ向きに押す」ことになりますよね。
それと同じで、Ｐの上に「鉛直」になっている針金が左方向に進んでいるとき、Ｐの外から見て真下に落ちようとするＱは針金を進行方向後ろ向き、つまり右向きに「押す」ことになります。

この問題は、けっこう難しいですね。
ただの「斜面」なら簡単なのですが、水平方向の力のかかり方が時々刻々変化し、かつ両方向に力がかかる「半円形の針金」であるところが、出題者の工夫したポイントみたいですね。
「どれだけ想像力を発揮して起こっている現象を把握できるか」を問われることになります。

syotao · Answer

これは話が逆です。
θ＝π/2　で　V=0になるのは
写真の上の式が成立つからです。
この式でθ＝π/2とすればV=0　です。
最初、Qが出発してしばらくはA＜0で、|V|は増加していきます。
しかしQがθ＝π/2　に近ずくにつれてPは減速しなくちゃならないから
どこかでA>0とならなくてはいけない、しかしPの水平運動は
Fの水平方向成分だけによるわけだからA>0となるためには
Fの向きが反転するしかないというわけです。
いいかえると、写真の上の式が成立つために、Fの向きの反転が
おこるわけです。

yhr2 · Answer

No.1 です。「補足」を見ました。

全体の動きがどうなるのかは分かりますか？

この問題は、もちろん「力」と「運動方程式」を使ってよいし、
水平方向には外からの力が働かない（働くのはＰとＱとの間の「内力」だけ）ので「運動量保存」を使ってもよいのですが、
定性的に説明するには「ＰとＱの重心」を考えるのが一番直感的に分かりやすいと思います。
上に書いたように、水平方向には外からの力が働かない（働くのはＰとＱとの間の「内力」だけ）ので、「ＰとＱの重心」は水平方向には一切運動しません。
一連の現象の間、「ＰとＱの重心」の水平方向の位置はずっと同じで動きません。ＰとＱが、その重心の周りを別個に運動します。
（「運動量保存」とは、実はこの「重心位置一定」のことなのです）

(1) 最初の「Ｑ」を静かに放すところでは、たとえば Ｑ を O の真上に置けば、重心はＯの真上の半径 1/2 のところになります。水平位置としては「Ｏ」の位置。

(2) Ｑを針金上を右の位置に置けば、重心の水平位置は「O と Q の水平位置の真ん中」になります。

(3) そこから手を放すと、Ｑは針金上を右に落下運動します。
その分、Ｐは左に動きます。
そのとき、Ｐは左に「Ｑの水平移動距離の 1/2」だけ進み、Ｑは「針金上を水平に移動した距離の 1/2」だけ右に進みます。 
（これはＰとＱの質量は等しいから 1/2 ずつであり、質量が異なれば「質量の逆比」の比率で動きます）

(4) Ｐは最初静止しているので、左に動くためには左向きの加速度（A<0）が働くことになります。
θが大きくなると、Ｑが針金を水平方向に押す力が次第に大きくなるので、加速度Ａの絶対値は0から次第に増加することになります。

(5) 一方、最終的にθ = 90°近くでＱがＰの水平面に到達する直前を考えると、Ｑはほとんど「鉛直方向の運動」になるので、「水平方向にはほとんど動かない」ことになります。
そのとき「ＰとＱの重心位置」はＯから半径の 1/2 のところに来ていて、ほとんど動きません。
Ｑが水平面に到達したときにＱは静止しますから、「重心位置」は動かなくなり、つまりＰの運動も止まります。

(6) ということは、Ｐの動きは

・Ｑを放した
　↓
・左向きの加速度（Ｐが加速）
　↓
・ある程度の速さで加速度 0
　↓
・ 右向きの加速度（Ｐは減速）
　↓
・Ｑが水平位置に来たときＰは停止

となることが分かります。

Ｐの上の座標からは、Ｑは円運動して、最後は「鉛直下向き」に運動しているように見えますが、
床の上の座標から見ると、Ｐが左向きに運動しているので、Ｑは途中のどこかで「鉛直真下向き」になって、最後のころには「左向き」に運動しているのです。
つまり、最後のころには重力で針金を「右向きに」押しているということです。

それがどこで切り替わるのかは、運動方程式を解いてみないと分かりませんが、ＰとＱの質量が等しいので、おそらく手を放した位置からちょうど 1/2 のあたりなんでしょうね。

yhr2 · Answer

問題文を正しく書き写していないですよね？

＞滑らかな台（質量m）の上に

何に対して滑らか？
床？　それとも「針金」？

＞針金を半円に曲げ固定。

どのような位置に、どのような角度で、何に対して固定？

＞真上から小球を離した後

どこの真上？

＞t=0で直後からA<0で

「A」って何？

＞V<でＶの絶対値は増加。

何ですか？

質問文の内容では答えようがありません。

物理 模試の問題

No.2 です。

これは話が逆です。

No.1 です。

問題文を正しく書き写していないですよね？

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