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クントの実験で、試料棒を摩擦して発生する棒中の縦波の速さV、その試料棒の密度p、ヤング率Eの間に、
E=pV^2
という式が成り立つようなのですが、物質ののびにくさを表すヤング率を何故このような式で表すことができるかわかりません。どなたかご教授願えないでしょうか。よろしくお願いします。

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A 回答 (1件)

式としては同じことですが,むしろ音速 V が


(1)  V = √(E/ρ)
と思う方がよいでしょう.
ρはギリシア文字のロー.
質問に p (アルファベットのピー)とあるのは見間違いでしょう.

棒を伝わる弾性波は,ある部分の位置がずれると復元力が働き,
という具合で伝わっていきます(波動は一般にそうですが).
ずれと対する復元力を結びつけているのがヤング率 E です.
ずれた部分がどの程度の速さで元に戻ろうとするかは,
復元力とその部分の質量で支配されます(運動方程式 F=ma を思い出してください).
こういうわけで,弾性波の速度は E とρ(単位体積あたりの質量)に
依存するという仕組みになっています.

復元力が大きければ元に戻るのが早いので,E 大 => V 大
同じ力がかかっても,質量が大きければ動きにくいのでなかなか元に戻らない
つまり,ρ大 => V 小.
というわけで,E,ρの大きい小さいが V にどう関係するかの傾向だけは,
簡単につかめます.
もちろん(1)と話が合っていますね.
実は,E とρを組み合わせて速度の次元をもった量を作るには,
√(E/ρ) 以外にありえません.
例えば,E/ρ では速度の次元になりません.
したがって,
「V が E とρだけで決まる」としたら,
V は本質的に √(E/ρ) であるとわかります.
本質的に,と言ったのは,
定数分(例えば,2がつかないか,1/πがつかないか)は決めようがないからです.

きちんとやるのは多少長くなります.
大学の理工系学部1年くらいの波動関係のテキストにはたいてい載っていますので,
探してみることをおすすめします.
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この回答へのお礼

ヤング率というと棒をたわませて測定するとしか考えられなかったのですが、波がずれと復元力で伝わるというお話で納得することができました。
テキストをもう一度読み直してみようと思います。たいへんわかりやすく教えていただき、本当にありがとうございました。

お礼日時:2004/04/25 15:59

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いわゆるクントの実験についての質問です。

棒をこすることによって前後に若干伸び縮みし、棒が縦波の振動を起こすわけですよね?
そしてその定常波がガラス管の中の空気に伝わり、ガラス管内の空気も棒と同じ振動数で振動する。
そのときに棒の振動とガラス管内の空気が共鳴しているならば、ガラス管内の空気は定常波となる。
そうすると、ガラス管内のコルク粉が空気の振動の大きい(振幅の大きい)ところではバラけ、空気の振動の小さい(振幅の小さな)ところでは動かない。

こういう理解でよいのでしょうか?

棒が定常波なのでガラス管内も定常波となり、共鳴すると二つの定常波の振動数が等しくなるのか、
それとも最初に書いたように、棒が定常波でそれと同じ振動数の波がガラス管内にでき、共鳴するとガラス管の中も定常波になるのか。
どちらなんでしょうか?

Aベストアンサー

>ガラス管内のコルク粉が空気の振幅の大きいところではバラけ、空気の振幅の小さなところでは動かない。

そういう理解で良いと思います。

>棒が定常波なのでガラス管内も定常波となり、共鳴すると二つの定常波の振動数が等しくなるのか、それとも最初に書いたように、棒が定常波でそれと同じ振動数の波がガラス管内にでき、共鳴するとガラス管の中も定常波になるのか。どちらなんでしょうか?

どちらでもありません。共鳴という現象の理解が不十分のような気がします。棒が定常波かどうかは関係ありません。とにかく棒の振動がガラス管内に伝わりますが、そのとき、ガラス管内の「固有振動数(これはガラス管の管長と管内の空気の音速によって決定します)」が棒の振動数に一致したときにのみ「共鳴」という現象が生じます。管内の空気が固有振動数で振動するときに、管内が定常波となるのです。

Qヤング率の単位について

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できれば、簡単でいいので、途中式も示していただきたいです。

Aベストアンサー

1[N]=10^5[dyne]
1[m]=10^2[cm]⇒ 1[m^2]=10^4[cm^2]

です。よって、

1[N/m^2]=10^5/10^4[dyne/cm^2]
=10[dyne/cm^2]

となります。
 ヤング率の単位は[GPa]で表記されていることが多いので、[N/m^2]=[Pa]より

1[GPa]=10^10[dyne/cm^2]

と覚えておくと便利です。

Qクントの実験

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参考URL:http://www.geocities.jp/yykagaku/nikki/2003-12.html

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>そこで、質問なんですけど、ヤング率の値が変化する原因を教えてください。

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Qクントの実験について

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e^-2x は、 t=-2x と置いて置換してもよいけれど、牛刀の感がします。

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e^-2x の積分は、(-1/2)*( e^-2x )と判明します。

Qプランク定数を測定する実験に関して

プランク定数を求める際に以下のサイトでは次のような注意を促しています。
「分光系の感度が520nm 付近で高いため,これより長波長側ではわずかに短波長側の散乱光の影響を受けることがある。よって,539nm〔-2°〕より長波長側では付属の色ガラスフィルター(0-54)をホルダーに挿入して使用すること。」
なぜ「分光系の感度が520nm 付近で高いため,これより長波長側ではわずかに短波長側の散乱光の影響を受けることがある」のか、そしてなぜ「フィルターによってそれを防止できる」のかわかりません。どなたか教えていただけないでしょうか?
http://www.shigaec.ed.jp/kagaku/05shisets/katsuyo/kiki_phys_10.pdf

Aベストアンサー

>「分光系の感度が520nm 付近で高いため,これより長波長側ではわずかに短波長側の散乱光の影響を受けることがある」

この記述は、ごく、当り前のことを述べているだけです。この分光系の感度のピークが520nmですから、これより長波長の光を取り出そうとした場合、どうしても、短波長の成分が混じってしまいます。ですから、短波長の成分をカットするような、フィルターが必要なのです。

Qクントの実験

クントの実験でガラス棒を波源とした時、棒中の変位をξとして棒の中を伝わる縦波の波動方程式は、     ∂ξ^2/∂t^2=E/ρ*∂^2ξ/∂x^2 {^=二乗を示す t=時間 E=棒のヤング率 ρ=棒密度 x=距離}で与えられるそうなんですけど、イマイチ理解できません。なぜ上の様な式になるのですか?知っているかたアドバイスお願いします☆

Aベストアンサー

 
2乗はここですよね?
  ↓
∂^2ξ/∂t^2=(E/ρ)∂^2ξ/∂x^2



1.
この式のふるさとは、振り子や、バネと質量、の振動の式です。

  質量m●─バネ─壁

外力が無い自由振動は

  質量の慣性力+バネの復元力=0

静止状態からの変位をξ、バネのヤング係数をEとすれば上式は
  m・d2ξ/dt2 = -Eξ
  d2ξ/dt2 = -(E/m)ξ

係数を無視すると、
  d2ξ/dt2 = -ξ
これを満足するξは 『 2回微分したら元に戻る 』 関数です。sin(x)やcos(x)は2回微分すると-sin(x)や-cos(x)になって上の式にピッタリ当てはまります。だからこれらがξです。
さらに、
sin(ax) を2回微分すると係数 aが2回外に出て -a^2・sin(ax) となることから、上式の(E/m)がa^2 に相当します。解の中にsin(√(E/m)・t) と入り込みます。係数は√で入り込むのです。



2.
つぎに、
ξがξ= sin(x+y) になる微分方程式はどんな形か。上の方法に習って、xだけで2回偏微分、yだけで2回偏微分すると、
  ∂2ξ/dx2 = -sin(x+y)
  ∂2ξ/dy2 = -sin(x+y)
だから、
  ∂2ξ/dy2 = ∂2ξ/dx2
という微分方程式です。



3.
sin(ax+by)と係数が付いた場合;
数学ではaやbはただの係数(倍率)ですが;
物理的には;
sin(…) のカッコの中は無次元数でないといけないので、次元が逆のものが必ずペアになっています。例えばxが長さならaは 1/長さ (例えば波数k)、例えばyが時間ならbは 1/時間 (例えば周波数f)というふうに。 もし無次元でなかったら;途中が間違ってると断定できます。
(前記の第2項では、xもyも次元を持てないという事を分かっていただきたい。)



4.
以上、
振り子や質点+バネの振動から出発して、一般的に
ξ= sin(ax+by) の形の振動は、
∂2ξ/dy2 = c^2・∂2ξ/dx2 の微方になるのだ、ということでした。
cが伝播(denpa)速度に対応します。

 

 
2乗はここですよね?
  ↓
∂^2ξ/∂t^2=(E/ρ)∂^2ξ/∂x^2



1.
この式のふるさとは、振り子や、バネと質量、の振動の式です。

  質量m●─バネ─壁

外力が無い自由振動は

  質量の慣性力+バネの復元力=0

静止状態からの変位をξ、バネのヤング係数をEとすれば上式は
  m・d2ξ/dt2 = -Eξ
  d2ξ/dt2 = -(E/m)ξ

係数を無視すると、
  d2ξ/dt2 = -ξ
これを満足するξは 『 2回微分したら元に戻る 』 関数です。sin(x)やcos(x)は2回微分すると-sin(x)や-cos(x)になって上の式...続きを読む

Qボルダの振り子 慣性モーメント

ボルダの振り子で、金属球の質量をm、半径をa、
ナイフエッジから金属球までの長さをlとするとき、
支点回りの慣性モーメントIが
I=2ma^2/5+m(l+a)^2
となるのがわかりません。
この式の導き方を教えていただきたいです。

Aベストアンサー

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)+mh^2=2/5ma^2+m(a+l)^2になるのです。

平衡軸の定理については、定理ということでそのまま
用いて構いません。式の導出が厄介だからこそ、定理として造られているのです。定理の導出まで知りたければ、力学の教科書をみれば分かります。

球の慣性モーメントについても、導出はけっこうやっかいです。球の重心の周りの慣性モーメント
がI(G)=2/5ma^2です。この導出も知りたければ、力学の教科書を見た方が速いです。もしここに書き込むと
かなりゴチャゴチャします。

平衡軸の定理を使っています。
平衡軸の定理とは、ある剛体を考えた時に、
その剛体の重心の周りの慣性モーメントをI(G)とすると、重心から距離hだけ離れた点、の周りの
慣性モーメントIは、I=I(G)+Mh^2で与えられる、
ということです。Mは剛体の質量です。ご質問の場合、I(G)というのは金属球の中心の周りの慣性モーメントです。
この値が、半径aとして、2/5ma^2となります。
その重心(中心)から、距離lだけ離れたナイフエッジ
における慣性モーメントは、平衡軸の定理を使うと
I=I(G)+mh^2=2/5ma^2+m...続きを読む


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