No.6ベストアンサー
- 回答日時:
#3、#4、#5の者です。
私なりに解明できましたので、以下に説明します。
まず、半径r(cm)、幅w(cm)、面密度ρ(kg/cm^2)のリング(円)が、円の面と同じ(平行な)面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントAを求めましょう。
2πrρw・r^2=2πρw・r^3
さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のR(m)としておきましょう。
緯度がθのところのリングの半径rは、
r=Rcosθ
と書き換えることが出来ます。
この部分のリングの慣性モーメントは、
2πρw・r^3=2πρw・R^3・(cosθ)^3
さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。
その無限個の各リングの幅wは、
w→R・dθ
と置き換えることが出来るので、
中空球の慣性モーメント
=∫(-π/2→+π/2)2πρ・R^3・(cosθ)^3・R・dθ
=2πρ・R^4・∫(-π/2→+π/2)(cosθ)^3・dθ
=2πρ・R^4・∫(-π/2→+π/2)((cos3θ+3cosθ)/4)・dθ
=2πρ・R^4×4/3
=2/3・πρ・R^4
以上で、無限に薄い中空球の慣性モーメントが求まった。
あとは、これを厚さ方向(R)で積分すれば、球の慣性モーメントになる。
I=∫(0→R)2/3・πρ・R^4・dR
=8/15・πρ・R^5
(球の慣性モーメントの公式のできあがり)
↑ここで、厚さ方向の積分を行なったので、ρは面密度でなく通常の密度に変更になっている。
(文字表記は、そのままにしました)
では、ここで、球の質量Mを用いて、ρを式から消去してみましょう。
球の体積は4/3・πR^3であるから、
密度ρは
ρ=M/(4/3・πR^3)である。
これを
I=8/15・πρ・R^5 に代入して、
I=8/15・πρ・R^5
=8/15・π・R^5×M÷(4/3・πR^3)
=2/5・MR^2
となり、#2さん、および、#5のリンクの公式と同じものが得られました。
あとは、計算だけですので、以降は#5の考え方でどうぞ。
No.5
- 回答日時:
#3、#4です。
何度もすみません。
私は無限に薄い中空球を想定して、それを積分することで、ご質問の答えになるということで考えていましたが、
よく考えてみたら、外径と内径のそれぞれで、球の体積を求め、その差の体積で4kgを割り算すれば密度が求まり、
それによって、
大きい球の体積から大きい球の質量がわかり
小さい球の体積から小さい球の質量がわかり
さらに、
大きい球の質量と外形から大きい球の慣性モーメントがわかり
小さい球の質量と外形から小さい球の慣性モーメントがわかり
そして、
大きい球の慣性モーメントから小さい球の慣性モーメントを引き算すれば答え。
つまりは、#2さんの説明に、プラス、球の慣性モーメントの公式の導出過程がわかればよいのですね。
球の慣性モーメントについては、下記のリンクをどうぞ。
http://heat.cse.oka-pu.ac.jp/ichi/lectures/Mecha …
なお、このリンクは、重積分が入った説明なので、もしも、もっとわかりやすい説明が見つかったら、また回答します。
参考URL:http://heat.cse.oka-pu.ac.jp/ichi/lectures/Mecha …
No.4
- 回答日時:
#3です。
すみません。
私は慣性モーメントの定義を間違えていました。
質量に、軸からの距離の1乗ではなく、2乗を掛け算しなくてはいけないのですね。
ですから、そもそも#3の最初の式
2πrρw・r=2πρw・r^2
は誤りで、
2πrρw・r^2=2πρw・r^3
ですね。
あと、#2さんの引用していた公式
I=(2/5)MR^2
は、先ほど、ネットの中を検索して、正しいことを確認したので、
この式をRで微分した形に似た式が、この問題の答えになりそうな予感がします。
もうちょっとやってみます。
それらしい答えが出たら、また書きます。
とりあえず、#3は取り消しということで・・・。
No.3
- 回答日時:
「公式」があるんですか。
知りませんでした。
面白い問題ですね。
私は計算に自信がないのですが、やってみました。
まず、半径r(cm)、幅w(cm)、線密度ρ(kg/cm)のリング(円)が、円の面と同じ(平行な)面内で、円の中心の周りに回転する慣性モーメントAを求めましょう。
これは、簡単ですね。
2πrρw・r=2πρw・r^2
さて、次は地球儀を考えればよいわけです。
地球儀の半径は、先ほどと区別するために、大文字のR(m)としておきましょう。
緯度がθのところのリングの半径rは、
r=Rcosθ
この部分の慣性モーメントは、
2πρw・r^2=2πρw・R^2・(cosθ)^2
さて、
リングの幅方向は、θ方向と平行であるから、θで上記を積分すれば、すなわち、無限個のすべてのリングを足し算して、中空球について求めたことになる。
その無限個の各リングの幅はR・dθ
中空球の慣性モーメント
=∫(θ=-π~+π)2πρw・R^2・(cosθ)^2・R・dθ
=2πρw・R^3・∫(θ=-π~+π)(cosθ)^2・dθ
ここで、
∫(cosθ)^2・dθ
=∫(cos2θ+1)/2・dθ
=sin2θ/4+θ/2+積分定数
であるから、
中空球の慣性モーメント
=2πρw・R^3・[sin2π+π/2-sin(-2π)-(-π/2)]
=2πρw・R^3・π
=2π^2・ρw・R^3
以上、計算に全然自信がないのですが、
2π^2・ρw・R^3
みたいな感じの公式になってませんか?
私は答え合わせができないもので(笑)
・・・ただし、少なくとも導出過程の途中まではあっていると思いますけど・・・
No.2
- 回答日時:
球の質量はρを密度として
M=(4/3)ρπR^3
課題の数値からρを逆算して中空でない球のMを計算。
球の慣性モーメント
I=(2/5)MR^2
中空球のI=中空でない球のI-中空と同じ球のI
答が欲しいならはっきりそう書いた方がいい。
No.1
- 回答日時:
まず「慣性モーメント」ってどんな意味なのか、物理学的にどんな意味をもっているものなのか理解してください。
それが理解できていれば、何らむずかしい事ではありません。お探しのQ&Aが見つからない時は、教えて!gooで質問しましょう!
似たような質問が見つかりました
- 物理学 図のように、内半径aの中空の円筒が、その中心軸が水平になるように固定されており、その中で、 質量 M 7 2023/02/15 09:23
- 化学 化学 物理 回転定数Bより、HCl分子の慣性モーメントを計算せよ。HとClの質量は文献の値を用いよ。 4 2023/06/12 18:17
- 化学 化学 物理 回転定数Bより、HCl分子の慣性モーメントを計算せよ。HとClの質量は文献の値を用いよ。 3 2023/06/12 16:33
- 物理学 半径rの滑車の両端に質量mのおもりをぶら下げて、片方のおもりを速度vで降下させたとします。 このとき 6 2023/05/09 19:10
- 数学 球の中心が正三角形の3辺をたどって1周したとき、球が通過してできた立体の体積を求めなさい。 1 2022/06/23 20:35
- 工学 等分布荷重の曲げモーメント計算について 1 2022/08/16 14:36
- 物理学 半径aの円形コイルが、水平方向を向いた一様な磁束密度Bの中につるされている、コイルの面とBが平行にな 3 2023/05/02 01:23
このQ&Aを見た人はこんなQ&Aも見ています
このQ&Aを見た人がよく見るQ&A
デイリーランキングこのカテゴリの人気デイリーQ&Aランキング
マンスリーランキングこのカテゴリの人気マンスリーQ&Aランキング
おすすめ情報