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100×100×100mmの立方体の空間に直径6mmの球を詰め込みます。
高さ100mmからはみ出さないように(つまり立方体に全て収まるように)詰めた場合のスキマ(球以外)の体積はどのようにして求めるのでしょうか。計算式を教えて下さい。
(実際は球の総重量を計算する為に知りたいので、そちらをダイレクトに算出する方法でも構いません)

よろしくお願い致します。

A 回答 (2件)

 六方最密とか、面心立方と呼ばれる充填だと、充填率が≒74%(つまり、空間率は#1さんの回答の通り≒26%)です。

この場合、7.4*10^5mm3が球で占められることになり、球の体積は36πmm3なので6543個の球が入る計算になります。ただ実際はここまでは入りません。
 上記の充填率というのは、単位格子と呼ばれるものの中で球がどれだけの体積を占めるかという数値ですが、実際の箱の場合、箱の面や辺、頂点の近くでは単位格子と同じような充填ができません。また、箱の寸法によっては端に隙間ができることもあります。#1さんご指摘の摩擦の問題や、球同士が密着するのかという問題もあります。従って実際の空間率は26%より大きくなるはずです。
 で、あまり結果に自信がないのですが、面心立方の単位格子の辺が箱の辺と平行になるような充填を考えてみました(実際にこの充填が最も大きな充填率を与えるかは未確認です)。
 半径3mmの球で面心立方を作った場合、単位格子の一辺は3*2√2≒8.5mmであり、一辺100mmの箱であれば一辺に単位格子が11個並んで6.5mm余ります。この6.5mmにもう一個球が入るとすると、6114個入るという結果になりました。この場合充填率は≒69%になります。
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この回答へのお礼

gohtrawさんありがとうございます。

なるほど、単純に重点率が74%と考えると実際とは異なるのですね。5%(?)の違いは大きいですね。

ちなみに実際には1000x100x100位の箱に3mmの鉄の玉を入れることになります。そうするとこの5%という数字はかなり小さくなると思いますが、一応計算しておいた方がよさそうですね。

お礼日時:2009/10/17 01:24

摩擦の少ない球であれば,よく振ると最密充填に近くなると思います。


「最密充填」で検索するとよいと思いますが,結果だけならWikipedia,計算が知りたいなら,下記などが参考になりそうです。空隙率は,26パーセントということになりますか?

http://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question …

摩擦が大きくて,最密充填に程遠いときは,球の数をカウントするか(あ,これを知りたいのですかね^^;),または水に沈めて(浮かんじゃうのかな?)直接体積を測るしかないかもしれません。でも,実際マスに入れて重さを量っちゃったほうが早いような・・・。
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この回答へのお礼

yokkun831さんありがとうございます。
六方最密重点というのですね。大学かどこかで習ったことあるような気がしてきました・・・

「空隙率は26%」ということが分かり大変助かりました。リンク先も拝見しましたが、きちんと理解するには時間がかかりそうですね。
でもせっかくなので、目の前の仕事が終わったらゆっくり勉強してみようと思います。

お礼日時:2009/10/17 01:17

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