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球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2
を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

gooドクター

A 回答 (2件)

慣性モーメントは、「全体の質量:M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。


この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
 ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)   ①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積:4パイr^2」に「暑さ:dr」を掛けたものが球殻の体積です。
 dV = 4パイr^2 dr   ②

これと、①の密度を使えば、この「薄い球殻」の質量は
 dm = ρ*dV = 4パイρr^2 dr   ③
となります。

この球殻の慣性モーメントが、問題で与えられた式になります。与えられた式の「M」(球殻の質量)が、③の「dm」に相当するわけです。当然、与えられた式の「R」が③の「r」に相当します。

従って、球殻の慣性モーメント dI は
 dI = (2/3)dm*r^2 = (8/3)パイρr^4 dr
と書けることになります。

球全体では、これを r : 0~L (L:球の半径)に積分すればよく
 I = ∫[0→L]dI = (8/3)パイρ∫[0→L]r^4 dr
  = (8/3)パイρ[r^5 /5][0→L]
  = (8/15)パイρL^5

これを、①を使って「球の質量」で表せば
 ρ = 3M/(4パイL^3)
ですから
 I = (2/5)ML^2
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密度をρとします。

(当然ρ=3M/(4πR^3)です)

半径r~r+drの球殻の体積は4πr^2drですのでこの部分の質量は4πr^2*ρdrです。
球殻の質量から慣性モーメントを求め、足し合わせる(積分する)と求める球の慣性モーメントが得られます。
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