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質量m 半径aの一様な円環の慣性モーメントの求め方を教えてください。
回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

質問者からの補足コメント

  • ∫a^2dmということでしょうか?

      補足日時:2018/07/09 12:05

A 回答 (2件)

No.1です。

「求め方」も書いておきます。

>∫a^2dmということでしょうか?

基本はそういうことです。

微小体積の質量 dm は、針金の長さ dL として、線密度が ρ = m/(2パイa) なので、
 dm = [m/(2パイa)]dL   ①
ここで、円環の微小中心角 dθ をとれば
 dL = a*dθ
なので、①は
 dm = [m/(2パイa)]dL = [m/(2パイa)]*a*dθ = [m/(2パイ)]dθ

これを質点とみなしたときの慣性モーメントは
 dI = dm * a^2 = [ma^2/(2パイ)]dθ
なので、円環全体の慣性モーメントはこれを θ について積分すればよいのです。

積分範囲は 0→2パイ ですから
 I = ∫[0→2パイ][ma^2/(2パイ)]dθ = [ma^2/(2パイ)]∫[0→2パイ]dθ
  = [ma^2/(2パイ)] * 2パイ
  = ma^2
です。
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この回答へのお礼

めっちゃわかりやすいです!ありがとうございます!

お礼日時:2018/07/09 13:57

「円板」ではなく「円環」ですね? 円環の厚さ(半径方向、軸方向)は考えますか?


もしこの厚さを考えなければ、円環は「質点が円周上に連続したもの」ということです。「半径 a 」の針金で、「針金の径が非常に小さい(非常に細い針金)」というものをイメージしてください。
この「物体のイメージ」ができていないことには始まりません。

>回答には円環はすべての部分が中心から等距離aにあるとあるのですがよくわかりません…

ということでは、「慣性モーメント」以前に「物体のイメージが描けない」ということですから。


すべてのベースとして、「質点」の慣性モーメントは分かりますか?
 I = mr^2
です。
http://www.buturigaku.net/main01/RigidBody/Rigid …
http://eman-physics.net/dynamics/angular.html

「円環」は、単にこの「質点」を円周上に連続的に分布させただけなので、質点の慣性モーメントと同じです。
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中が中空の球(球殻)の慣性モーメントの求め方がわかりません。
球の質量をM、半径をaとすると2/3Ma^2となるとは思うのですが、求める過程がわからないのです。
教えてください。

Aベストアンサー

球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
球の質量はr=aに一様分布なので(面)密度ρ=M/(4πa^2)となります。

それで、座標Ω=(θ,φ)において、z回転軸周りでは面積素片はdS=a^2*sinθdθdφになりますよね。さらに軸からの距離r'=a*sinθです。

あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
=Ma^2/(4π)*2π∫(sinθ)^3 dθ
=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

Q慣性モーメント

厚さを無視できる円筒や円環や球殻の慣性モーメントはどうやって計算すればよいのでしょうか?

Aベストアンサー

replay さんはすこし誤解されているようです.

慣性モーメントは,
(1)  (微小部分の質量)×(軸からの距離)
を加え合わせた(連続的に質量が分布しているなら積分した)ものです.
極座標系で表したときに,r は原点からの距離であって,
軸からの距離ではありません.
したがって
(2)  I = ∫ρr^2 r^2 sinθdrdθdφ
と書いてはいけません.

後半は,球と球殻とがごっちゃになっているようです.
球殻ならば r は a で一定のままです.
r についてゼロから a まで積分しちゃっちゃいけません.
(投稿しようとしたら,訂正が投稿されていました).
さらに密度についても,体積密度と面積密度を混同されています.
また,慣性モーメントの次元は (質量)×(長さ)^2 ですが,
最終結果ではそうなっていませんので,
結果が誤りであることは一目でわかります.

厚さを無視できる円筒や円環は,
軸の周りの慣性モーメントということなら簡単.
すべての質量が軸からの距離から a の場所にあります.
したがって,
(2)  I = Ma^2

球殻はちょっと面倒.

    A
    │
    C   B
    │  /
    │θ/
    │/
    O

図の様に極座標を取ります.AとBとは球の表面.
BC = a sinθ
θ~θ+dθ の部分の球殻面積は (a dθ)×(2πa sinθ) = 2πa^2 sinθ dθ
単位球殻面積あたりの質量は M/4πa^2.
したがって,
(3)  I = ∫{0~π} (M/4πa^2) (a sinθ)^2 (2πa^2 sinθ dθ)
     = (2/3)Ma^2
です.

> 内半径b外半径aとして厚さのある球殻の積分をして
> b→aの極限から計算すると
> I=2/3×Ma^2となりました。

もちろんこれでもOKですね.

replay さんはすこし誤解されているようです.

慣性モーメントは,
(1)  (微小部分の質量)×(軸からの距離)
を加え合わせた(連続的に質量が分布しているなら積分した)ものです.
極座標系で表したときに,r は原点からの距離であって,
軸からの距離ではありません.
したがって
(2)  I = ∫ρr^2 r^2 sinθdrdθdφ
と書いてはいけません.

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球殻ならば r は a で一定のままです.
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Q円盤の慣性モーメントが求めれません。

面密度ρの一様な円盤の中心周りの慣性モーメント

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となるのですがどうしてなるのか分かりません。

よろしくお願いします!

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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
dA=π(r+dr)^2-πr^2
=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
dA=2πrdr (6)

ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0~Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
積分を実行すると、
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ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
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J=(mR^2)/2 (11)

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回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
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ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
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となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

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次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

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Q球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2 を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

球殻の慣性モーメントI=2/3MR^2
を用いて質量Mの球の慣性モーメントの求め方を教えてください。

Aベストアンサー

慣性モーメントは、「全体の質量:M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。
この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
 ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)   ①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積:4パイr^2」に「暑さ:dr」を掛けたものが球殻の体積です。
 dV = 4パイr^2 dr   ②

これと、①の密度を使えば、この「薄い球殻」の質量は
 dm = ρ*dV = 4パイρr^2 dr   ③
となります。

この球殻の慣性モーメントが、問題で与えられた式になります。与えられた式の「M」(球殻の質量)が、③の「dm」に相当するわけです。当然、与えられた式の「R」が③の「r」に相当します。

従って、球殻の慣性モーメント dI は
 dI = (2/3)dm*r^2 = (8/3)パイρr^4 dr
と書けることになります。

球全体では、これを r : 0~L (L:球の半径)に積分すればよく
 I = ∫[0→L]dI = (8/3)パイρ∫[0→L]r^4 dr
  = (8/3)パイρ[r^5 /5][0→L]
  = (8/15)パイρL^5

これを、①を使って「球の質量」で表せば
 ρ = 3M/(4パイL^3)
ですから
 I = (2/5)ML^2

慣性モーメントは、「全体の質量:M」がどの範囲か、をきちんと見極める必要があります。
この問題も、「球殻のM」と「球のM」を混同すると頭の中がめちゃめちゃになります。

#1 さんのように、まずは「球のM」を使って、「球の密度」を求めます。つまり、「球のM」を「球の体積」で割った「密度=単位体積当たりの質量」です。
 ρ = M/[ (4/3)パイr^3 ] = 3M/(4パイr^3)   ①

次に、半径 r、厚さ dr の「極めて薄い球殻」の体積を求めます。「球の表面積:4パイr^2」に「暑さ:dr」を掛けたものが球殻の体積...続きを読む

Q円柱の慣性モーメントの求める問題です。

円柱の慣性モーメントの求める問題です。
密度ρ半径R長さlの円柱をo軸回りの回転軸を求める問題なのですがわからなくて困ってます、どうか教えてください。

Aベストアンサー

(1) 半径rの円板の中心を通り円板に平行な軸に関する慣性モーメントは,(1/4)mr^2
  ※垂直軸の定理から,中心を通る垂直軸周りの慣性モーメントが(1/2)mr^2であることを用いる。
(2) 平行軸の定理 I=Ic+MRg^2 ただし,Icは重心まわりの慣性モーメント,Mは剛体の質量,Rgは軸から重心までの距離

を用います。

円柱の重心を原点として軸方向にx軸をとる。
座標xにおいて円柱を輪切りにして得られる厚さdxの円板について,質量dm=ρπR^2dx として,慣性モーメントは
dI = (1/4)dm・R^2 + dm・x^2
したがって,円柱全体について積分すれば
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Q剛体振り子の周期

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と教科書に書いてあるのですけど、この周期Tはどうやって求めたのでしょう?計算の仕方がわからないので教えてください☆お願いします!
T=2π/ωと、ω=(θの微分)を用いるのはわかるんですけど・・・。

Aベストアンサー

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これは、よく教科書に書いてある形の微分方程式なのですが、解き方をここに書くのは、ちょっと面倒なのでご勘弁ください。

代わりに、方程式から周期を求める簡易な方法を紹介します。

θはtの三角関数になることは、わかっているものとします。

そうすると
θ = a・sin(ωt+c)
tで一回微分すると
dθ/dt = ab・cos(ωt+c)
もう1回tで微分すると
I = dθ^2/dt^2 = -a・ω^2・sin(ωt+c)

これらを当初の方程式に代入すれば
-a・ω^2・sin(ωt+c) = -A・a・sin(ωt+c)
よって
ω=√A=√(Mgh/I)
T=2π/ω=2π√(I/Mgh)

Q球の慣性モーメントについて

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

「球(質量M、半径R)の1つの直径周りの慣性モーメントを求めよ。

という問題を解いてみて解答を見ると
球の密度をρ=M/(4/3)πR^3とする。球の中心から高さzからz+dzの間にある厚さdzの円盤の質量はρπ(R^2-z^2)dz
よって慣性モーメントはi=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)
これを積分してI=∫idz=(2/5)MR^2
(積分区間は-R≦z≦R)

となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径rよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は1よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は1/2よりも小さくなります。2/5<1/2ですね。3/5とか4/5が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式 力=質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント=慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力=質量×加速度 の両辺に回転半径rをかけたあと
加速度=半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
(rの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。)

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

1/2は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径r、質量mの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが(1/2)mr^2であるということです。1/2がなければmr^2になりますね。これは距離rの所に質量mがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
1/2がついているということは円盤の場合、中心からの距離がr/√2の所に質量が...続きを読む

Q摩擦と速度の関係について

摩擦力について質問です。
ある物体に摩擦力Nを加えて移動させたとき摩擦係数をμとするとF=μNとなり、物体の移動速さは問題となりません。しかし、僕には同じ摩擦力でも速く移動させたほうが大きな摩擦力がかかる気がしてなりません。
本当に摩擦力に速さの項は関係しないのでしょうか?

わかる方がいましたらよろしくお願いします。

Aベストアンサー

>本当に摩擦力に速さの項は関係しないのでしょうか?
どういう次元の話をされているのかによります。
理論的なモデルにおいて理論的な話であれば速度は関係しません。
厳密に言えば静摩擦と動摩擦では静摩擦>動摩擦の関係となりますから、速度0とそれ以外は同列に扱えませんが。

現実の物体で試験したときにどうなるのかというと話は変わってきます。
日常的に感じることのできる摩擦係数の速度依存では、速度が大きい方が摩擦抵抗は小さくケースが多いと思われます。
たとえば非常に重たいものを滑らせて移動させる場合、勢いよく速度をつけて移動する方がやりやすく、低速で移動する方が力が必要になります。

これは単純に言うと、摩擦は要するに2つの面の凹凸のかみ合いが作り出していると考えれば、速度が速くなっていくと、いちいち凹凸がかみ合わずに凸部分のみがあたるようになっていきます(つまり若干浮き気味になる)。
そうすると摩擦抵抗が小さくなるわけです。

ただこれはその面に非常に強い力が加わるし、そのエネルギーは熱になりますので、あまりやりすぎると面が損傷してきます。そうするとある速度以上では急激に摩擦抵抗が大きくなります。これを限界PVといいます。

ちなみに摩擦についていうとこのほか液体の摩擦などもあり、この場合には速度が速いほど摩擦が大きくなるというものもあるので、必ずしも速度と摩擦係数の関係は一般的にはいえません。

>本当に摩擦力に速さの項は関係しないのでしょうか?
どういう次元の話をされているのかによります。
理論的なモデルにおいて理論的な話であれば速度は関係しません。
厳密に言えば静摩擦と動摩擦では静摩擦>動摩擦の関係となりますから、速度0とそれ以外は同列に扱えませんが。

現実の物体で試験したときにどうなるのかというと話は変わってきます。
日常的に感じることのできる摩擦係数の速度依存では、速度が大きい方が摩擦抵抗は小さくケースが多いと思われます。
たとえば非常に重たいものを滑らせ...続きを読む

Q剛体振り子の問題

剛体振り子の問題

下図に示す、1辺の長さa、質量Mの一様正方形板の1頂点を回転軸受で支持した剛体振子の固有角振動数は?
ただし、正方形板の振れ角θは小さく、sinθ≒θとみなすことができ、gを重力加速度の大きさとする。

答え:1/2√((3√2g)/a)

どなたか解説お願いします。

Aベストアンサー

1)回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度=力のモーメント。

2)慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
=重心のまわりの慣性モーメント+質量×(回転軸から重心までの距離の2乗)。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

3)角加速度は回転角の時間に関する2階導関数 (d/dt)^2θ です。

4)力のモーメント=力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス/マイナスを考慮する必要があります。

5)以上より式を立て、sinθ≒θ という近似を使うと
(d/dt)^2θ = -{3(√2)/4}(g/a)θ
という式が得られます。右辺にはマイナス符号が必要です。微分方程式を解く必要がないのであれば、ここの {3(√2)/4}(g/a) が求める角振動数の2乗であるとして、答えを求めます。

6)微分方程式を解くのであれば、上の式よりθの一般解を求めます。解は三角関数で表わされます。そこから角振動数を求めます。(上の式の右辺にマイナス符号がないと、解は指数関数になってしまい、振動を表すものにはなりません。)

なお、角振動数の「角」と回転角の「角」は意味が違うので混同しないように注意しましょう。

1)回転運動の方程式は
慣性モーメント×角加速度=力のモーメント。

2)慣性モーメントについては
回転軸のまわりの慣性モーメント
=重心のまわりの慣性モーメント+質量×(回転軸から重心までの距離の2乗)。
重心のまわりの慣性モーメントはどこかに載っているはずですが、今の場合は M a^2 / 6 です。

3)角加速度は回転角の時間に関する2階導関数 (d/dt)^2θ です。

4)力のモーメント=力の大きさ×回転軸と力の作用線の距離。
ただし、力と回転角の方向によってプラス/マイナスを考慮する必要があ...続きを読む

Q直方体と質点の慣性モーメント

問題<図は画像添付>
図のように質量Mの直方体(2a×2b×2c)の1辺(2c)を水平な軸に固定し、自由に回転できるようにした。直方体をつりあいの位置から角度θだけ傾けて、静かに放したときの直方体の運動について以下の問いに答えよ。ただし回転時の摩擦力、空気抵抗力は無視し、重力加速度をgとする。また直方体は一様な密度の剛体とみなす。
(1)図の頂点Aに質量mの質点を取り付けた。直方体だけのときと同じつりあいの位置となるように、図の頂点Bに質量m'の別の質点を取り付けたい。この質点の質量m'を求めよ。
(2)(1)の条件のとき、2つの質点を含む直方体全体の慣性モーメントI'(固定軸まわり)を求めよ。ただし、I'は直方体と各質点の慣性モーメントの和である。

(1)で2つの質点の運動方程式を立てて、直方体と質点の速度vが等しいことからv = 2√(a^2+b^2 ) ωとして運動方程式から導こうと思ったのですが、m'の運動方程式がm'dv/dt = m'gsinθとなりm'が消えてしまうのでm'が導けませんでした。
(2)で質点の慣性モーメントを求める際に質点の体積からdmを求めることになると思うのですが、質点の体積は1とかになるのでしょうか。dmをxyzで表したいのですが・・・。

前問より直方体の回転運動方程式は4/3 m(a^2+b^2 ) dω/dt= -mgsinθということがわかっている。

どなたか解法がわかる方教えて頂けないでしょうか。よろしくお願いします。

問題<図は画像添付>
図のように質量Mの直方体(2a×2b×2c)の1辺(2c)を水平な軸に固定し、自由に回転できるようにした。直方体をつりあいの位置から角度θだけ傾けて、静かに放したときの直方体の運動について以下の問いに答えよ。ただし回転時の摩擦力、空気抵抗力は無視し、重力加速度をgとする。また直方体は一様な密度の剛体とみなす。
(1)図の頂点Aに質量mの質点を取り付けた。直方体だけのときと同じつりあいの位置となるように、図の頂点Bに質量m'の別の質点を取り付けたい。この質点の質量m'を求めよ...続きを読む

Aベストアンサー

腕の長さは平面上の点と直線の距離ですから、点から直線に垂線を降ろしてその垂線の長さを求めるだけです。
その際、添付図の三角形の相似を利用します。

添付図では角OAHと角COAが等しいので△OACと△AHOが相似。
問題図からOAの長さが2a、ACの長さが2b。

もっとも、ちょっと考えれば計算しなくても答えは出るのですけど。

慣性モーメントは#2で書いたように

>I(剛体)=ΣI(質点) = Σi mi ri^2

を使えば計算できます。

I = Σi mi ri^2 = m1 r1^2 + m2 r2^2 + m3 r3^3 + ・・・・・

1をA点に追加した質点、2をB点に追加した質点とすれば、3以降の和が直方体の慣性モーメントで

I = m rA^2 + m' rB^2 + I(直方体)

I(直方体)は

>前問より直方体の回転運動方程式は4/3 m(a^2+b^2 ) dω/dt= -mgsinθということがわかっている。

から

I(直方体) = 4/3 m(a^2+b^2 )

と与えられている。

(∵ 回転の運動方程式 : (慣性モーメント)×(角加速度)=(力のモーメント) )

腕の長さは平面上の点と直線の距離ですから、点から直線に垂線を降ろしてその垂線の長さを求めるだけです。
その際、添付図の三角形の相似を利用します。

添付図では角OAHと角COAが等しいので△OACと△AHOが相似。
問題図からOAの長さが2a、ACの長さが2b。

もっとも、ちょっと考えれば計算しなくても答えは出るのですけど。

慣性モーメントは#2で書いたように

>I(剛体)=ΣI(質点) = Σi mi ri^2

を使えば計算できます。

I = Σi mi ri^2 = m1 r1^2 + m2 r2^2 + m3 r3^3 + ・・・・・

1をA点に追加した質点、2を...続きを読む


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