３次元空間でのラグランジュの運動方程式について質問

現在３次元でのラグランジュの運動方程式を解いています。
２次元での方程式は解くことができました。
２次元での位置座標は
x=rcosθ
y=rsinθ
で表現され，これを微分していくことで解けました。
しかし，３次元での位置座標を
x=rsinθcosφ
y=rsinθsinφ
z=rcosθ
と表わされますが，このまま計算を進めていってもいいのでしょうか？
それとももう少し簡便な表現の仕方はありますでしょうか？
このまま微分を行っていくと非常に複雑になってしまうように感じています．
回答よろしくお願いいたします．

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2013/08/01 16:41

ちょっと質問がへんです。

ラグランジュの運動方程式の利点は
座標系に関わらず運動方程式を簡単に
導けること。なので問題を解きやすい
座標系を選べばよいのです。

極座標で解くべきどうかは解く
問題によります。

No.2 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/08/01 16:28

半径は変わりますよ。

たとえば，太陽重力圏の惑星の運行は太陽を焦点とする楕円軌道ですから，角度によって距離がかわります。

球面振り子ならrは変わらないので，未定係数法で張力を出すのでなければ定数扱いにして自由度を2にすればいいだけです。

この回答への補足

ありがとうございます。
球面座標なので自由度を減らして，考えたいと思います。
これを２リンク，３リンクに拡張して行く場合も同様に考えていけばいいのでしょうか？

補足日時：2013/08/05 14:41

No.1 回答者： hitokotonusi 回答日時： 2013/08/01 13:12

三次元の極座標ですね。

ラグランジアンに必要なのは速度ですから，そう複雑にはなりませんが（加速度はかなり），幾何学的な考察をすれば割と簡単に出ます。

r方向の速度はθ，φが一定でそのまま動径方向に移動するだけなので

vr = r'　('は時間微分。以下同じ。）

θ方向の速度はr, φを固定してθを動かすので，半径rの円周上を移動し，

vθ = rθ'

φ方向の速度はr, θを固定してφを動かすのでz軸回りの回転となり，
z軸と質点間の距離がrsinθなので半径rsinθの円周上の運動となって

vφ = (rsinθ)φ' = rφ'sinθ

これから運動エネルギーが

T = (m/2)(r'^2 + r^2θ'^2 + r^2 φ'^2 sin^2θ)

まあ，ここまでなら微分してもたいして手間はかかりませんが。

この回答への補足

ご回答ありがとうございます．
このような式であれば単純ですね．もう一つ伺いたいのが，半径rの時間微分r'が出てきますが，これは何を示しているのでしょうか？半径が変わらないのに微分をすることに違和感がありまして．
そうではなく最終的に√(x^2+y^2+z^2)に戻したりするのでしょうか？
重ね重ねですが，よろしくお願いします．

補足日時：2013/08/01 15:56