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質問失礼します。大学物理の問題で分からない問題があったため質問させて頂きたいです。問題は以下の通りになります。

質量M、半径rの密度が一様な剛体円板の周りに、質量の無視できる糸を巻き付けてヨーヨーを作る。糸は十分に長く、常に鉛直方向にあるとし、重力加速度をgとする。ヨーヨーが落下している際に、糸の上端を鉛直方向に一定の加速度aで引き上げる場合の、円板の加速度と糸の張力を求めよ。

重心の並進運動やヨーヨーの回転運動の式は恐らく理解出来ているのですが、それ以降をどうすればいいのかが分かりません。お手数ですがご回答頂けると幸いです。

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A 回答 (2件)

働く力と、その位置を書き出してください。



(1) ヨーヨー本体に働く重力
・大きさ:Mg
・向き:鉛直下向き
・位置:ヨーヨーの重心(おそらく回転中心でしょう)

(2) 糸を引き上げる力
・大きさ:糸の張力 T
・向き:鉛直上向き
・位置:ヨーヨーの中心高さの円周上

これ以外の力は働いていないようです。

運動としては
(a) ヨーヨーの「重心」の並進運動
(b) ヨーヨーの重心周りの回転運動
の2つがあるようです。

では、2つの運動に対する運動方程式を立てます。上向き、ヨーヨーの回転方向を正とします。

(a) 並進運動:ヨーヨーの加速度を b とすると、
 Mb = -Mg + T    ①
よって
 b = -g + T/M    ②

(b) 回転運動:(1) は回転運動には関与しません。
回転運動に関与するには (2) なので、ヨーヨーの円周には、トルク
 Tr
が働きます。
よって、回転運動の運動方程式は、円板の慣性モーメントを I、回転運動の角速度を ω として
 Tr = I*dω/dt   ③

ここで、円板の回転の角速度は、円板の速さ V (<0) と糸を引き上げる速さ Vs を使えば
 ωr = -V + Vs
→ ω = (-V + Vs)/r
です。
従って
 dω/dt = (1/r)(-dV/dt + dVs/dt)    ④
で、円板の加速度が②の b なので
 dV/dt = b = -g + T/M
「糸を引き上げる加速度」が a なので
 dVs/dt = a
です。
従って、④は
 dω/dt = (1/r)(-b + a) = (1/r)(g - T/M + a)
となり、これを③に代入すると
 Tr = I*(1/r)(g - T/M + a)
→ T = I*(1/r^2)(g - T/M + a)    ⑤

ここで、質量 M の円板の回転中心周りの慣性モーメントは
 I = (1/2)Mr^2
なので、これを⑤に代入すれば
 T = (1/2)M(g - T/M + a)
  = (1/2)M(g + a) - (1/2)T
→ (3/2)T = (1/2)M(g + a)
→ T = (1/3)M(g + a)

従って、円板の加速度は、これを②に代入して
 b = -g + (1/3)(g + a)
  = (1/3)a - (2/3)g
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この回答へのお礼

ありがとうございます!!細かく教えていただき、分かりやすかったです!

お礼日時:2021/12/12 23:11

並進と回転の運動方程式はを立てる。



重心の並進運動の方程式は
Mb=mg-T (bは円板の重心の下向きの加速度、Tは張力)

円盤の回転の方程式は
Iα=rT (Iは円盤の慣性モーメント、αは角加速度)
角加速度と並進運動加速度と糸の加速度の関係は
α=(a+b)/r (aは上方向と正とする)

未知数はα、T、b、方程式は3本なので解けます。
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