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ヨーヨーの物理： 糸を引く加速度とヨーヨーの加速度

解決済

  • 質問者：jeccl
  • 質問日時：
  • 回答数：2件

こんにちは、勉強させて頂いております。
あるヨーヨーの物理に関する問題にであいまして、アドバイス頂きたいことがあり投稿しました。
添付の図をご覧下さい。半径r、質量mのヨーヨーがあり、簡単のため糸が巻いてある軸の半径もrとします。
ヨーヨーの中心の加速度をaとする場合にする場合に必要な、糸を引く加速度Aを求めよ、という問題です。

中心（重心）の並進運動、ヨーヨーの回転運動について運動方程式を立て、

ma = T – mg ….. (1)
Iα = rT …. (2)

I: 慣性モーメント = ½ mr^2
α： 角加速度 （未知数）
T: 張力 (未知数）
a: ヨーヨーの加速度 (既知、条件）

さらに、糸を引く加速度Aとa、αの関係が
rα　= A – a …. (3)
の関係にある、とのことが模範解答にありました。
しかしながら、この最後の(3)がなぜそう言えるのか、いわれてみればそうかも知れない、という程度でして、理由が明確に理解できずにおります。

たとえば、水平面を滑らずに転がっている円盤があるとして、その中心の
移動距離 = 回転距離（回転角度 [rad] x 半径）
となり、この両辺を時間で微分して、
V = rω
さらに微分して
a = rα
という流れは理解できるのですが、上の式(3)の導出の流れが分かりません。
どうか宜しくお願いします。

「ヨーヨーの物理： 糸を引く加速度とヨーヨ」の質問画像
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A 回答 (2件)

No.2ベストアンサー

  • 回答者： Quarks
  • 回答日時：

"相対加速度"を考えれば良いでしょう。



ヨーヨーの中心Ｏは、上向きに、大きさａの加速度運動をしています。
一方、ヨーヨーと糸との接点部分Ｐの加速度は、上向きに、大きさＡです。
∴Ｏから見たＰの加速度は、鉛直上向きにＡ－ａとなっているはずです。
　
ところで、Ｏから見るとヨーヨーの周縁部のＰは、回転していると見なせるはずです。
こう考えると、Ｐの、Ｏに対する相対加速度　Ａ－ａ（＝α）　は、回転の角速度の大きさでもあり、向きも、図の鉛直方向の向き＝接点の回転運動の回転の方向　でもあるわけで、
　ｒ・α＝Ａ－ａ
となります。
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この回答へのお礼

回答下さりありがとう御座います。完全に納得しました。とても分かり易い説明を下さり重ねてお礼申し上げます。

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お礼日時：2012/09/11 19:51

No.1

  • 回答者： eatern27
  • 回答日時：

ヨーヨーに巻き付いていない部分の糸の長さ＋ヨーヨーに巻き付いている部分の糸の長さ＝糸全体の長さ(一定)


という式を時間で二階微分したものが(3)式です。


>水平面を滑らずに転がっている円盤があるとして、
そういう例で言えば、水平面も動いていると思った場合と考え方は一緒ですね。
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この回答へのお礼

回答下さいましてありがとう御座いました。
助かります。

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お礼日時：2012/09/11 19:49

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Ｍａ＝Ｍｇ－Ｔ
回転角をθとすると、
ｖ＝ｒω　(ｖ＝ｒθ´)
重心の周りの角運動量は Ｉω　(Ｉθ´)

ここまでは分かったのですが、ほかにどのような条件を混ぜてａ、Ｔを求めてよいか分かりません。
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＃１，２ですが，補足に対する回答です．

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(３)を(１)に代入，さらに両辺r倍して
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(４)＋(２)より
（Ｍr^2＋I）dω/dt＝Ｍｇr
⇔dω/dt＝Ｍｇr／(Ｍr^2＋I)　・・・（５）
r倍して(3)より
ａ＝Ｍｇr^2／(Ｍr^2＋I)＝ｇ／(１＋I／Ｍr^2)
これと(１)より
Ｔ＝Ｍｇ－Ｍａ
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修正

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dθ/dt ＝ ab・cos(ωt+c)
もう１回ｔで微分すると
Ｉ ＝ dθ^2/dt^2 ＝ －a・ω^2・sin(ωt+c)

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慣性モーメントの定義から入りましょう。
回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

となるわけです。
ここで、dmは次のように表されます。
dm=ρdA (3)

ρは面密度、dAは円盤の微小要素の面積です。
次に、dAをrを使って表すことを考えましょう。
dA=(半径r+drの円の面積)-(半径rの円の面積) (4)

で求まります。実際にやってみます。
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=π(r^2+2rdr+dr^2-r^2)
=π(2rdr+dr^2) (5)

となるんですが、drはめっちゃ小さいんで2乗の項は無視します。
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ですね。この式(6)を式(3)に代入します。
dm=2πρrdr (7)

式(7)を式(2)に代入します。
J=∫r^2・2πρrdr
=2πρ∫r^3dr (8)

見にくいんで書きませんでしたが、rの積分区間は0～Rです。
回転軸から端っこまでですから♪
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になります。
ここで、円盤の質量mは次式で与えられます。
m=πρR^2 (10)

式(10)を式(9)に代入すれば出来上がりです♪
J=(mR^2)/2 (11)

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回転軸からrだけ離れた位置にある微小要素の慣性モーメントdJは次式で与えられます。
dJ=r^2dm (1)

ここで、dmは微小要素の質量です。
この円盤の慣性モーメントJは、円盤全域でdJを足し合わせれば(積分すれば)求まるわけです。
つまり、
J=∫dJ=∫r^2dm (2)

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問題は，写真に示すような長さl,質量mの一様な剛体棒の一端Oが速度vで水平に移動し，そのO点を中心に角速度(θ')で回転している．棒の運動エネルギーを次の中から選べ．ただし，棒の太さは長さに対して十分に細いものとする．

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[並進運動]
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となるのは理解できるのですが，その後の 回転中心Oまわりの回転エネルギーToは，

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どなたか助けてください．お願いします．

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この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

＞解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか？

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。このまま解釈すれば意味は明確です。

クロスタームと称しているものはこれの水平成分から出てくるもので、水平成分にはO点まわりの回転による成分とO点の並進による成分の二つが共に寄与しているので、そのクロスタームが出てくるのは当たり前です。

これを展開して分割し、

(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2(cosθ)^2 + (l^2/4)θ'^2(sinθ)^2 ]
=(1/2) M [ V^2 + V l θ'cosθ + (l^2/4)θ'^2 ]
=(1/2) M V^2 + (1/2) M V l θ'cosθ + (1/8) M l^2 θ'^2

この最後の項を回転のエネルギー(1/2)(1/12)Ml^2 θ'^2 = (1/24)M l^2 θ'^2 とあわせて

(1/8) M l^2 θ'^2 + (1/24)M l^2 θ'^2 = (1/2) [(1/3)Ml^2 ] θ'^2

と書き直してしまうから意味不明な項が残るんです。


速さVで動いている台から相対速度uで質量mの質点を打ちだしたときに、質点の運動エネルギーは

(1/2)m (V+u)^2 = (1/2) mV^2 + mVu + (1/2)mu^2

で、ここからmVuだけとり出してこのクロスタームにどういう意味があるかといわれても困るでしょう。
それと同じことです。

この後は質問者さんのレスポンスを待ちたいと思いますが・・・・

＞解答がこれを回転エネルギーの方に入れて並進と回転の分離ができているという表現をしているのはおかしいのです。

回転しない、つまり、角θを一定に保ったままの運動で現れない項を、「回転することによって生じてくる項」という意味で回転のエネルギーとしてまとめただけだと思いますが、そんなにおかしいですか？

#1にしたがって計算すれば、重心運動の運動エネルギー は

(1/2) M [ (V + (l/2)θ'cosθ)^2 + ((l/2)θ'sinθ)^2 ]

になります。...続きを読む

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中が中空の球（球殻）の慣性モーメントの求め方がわかりません。
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教えてください。

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球の中心を原点とした一般的な直交座標と極座標を考えて下さい。

r≠aではρ=0なのでr=aだけを考えればよく、面積分に帰着するわけです。
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あとはI=Mr^2に沿って計算すれば、
(0<θ<π, 0<φ<2π)

I=∬ρr'^2 dS
=ρ∬(a*sinθ)^2*a^2*sinθdθdφ
=ρa^4∬(sinθ)^3 dθdφ
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=Ma^2/2*(4/3)
=(2/3)Ma^2

と、こんなもんでよろしいのではないでしょうか。
慣性モーメントの計算なんて7年ぶりくらいです。ああ、間違ってないといいけど・・・(自信なくてすみません)

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Q球の慣性モーメントについて

こんにちは!!工学部に通う大学一年生です。現在大学の物理学で慣性モーメントについて勉強しています。そこで下のような問題を解きました。

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となっていました。解答の流れと計算はわかるのですが、i=(1/2)ρπ(R^2-z^2)dz(R^2-z^2)の式に何故(1/2)がつくのかわかりません。
教えてくださいm(_ _)m

Aベストアンサー

同じ問題を解いているサイトがありました。
http://www14.plala.or.jp/phys/mechanics/35.html

１／２は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径ｒ、質量ｍの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが（１／２）ｍｒ^２であるということです。１／２がなければｍｒ^２になりますね。これは距離ｒの所に質量ｍがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
１／２がついているということは円盤の場合、中心からの距離がｒ／√２の所に質量が集中しているとしたときと同等だということです。質量が広がりを持って分布している物体の回転を、同じ質量を持った、回転について同等な質点の回転に読み直しています。半径ｒよりも小さい所に質量が分布していますから当然前に着く数字は１よりも小さくなります。球の場合は円盤の場合よりも多くの質量が中心の近くに分布していますから前に付く数字は１／２よりも小さくなります。２／５＜１／２ですね。３／５とか４／５が出てくればおかしいということが分かります。
慣性モーメントを単に積分で定義された量とだけで理解しているとこういうチェックが出来ません。

運動方程式　力＝質量×加速度
に対応する回転に関する運動方程式は
モーメント＝慣性モーメント×角加速度
です。この式は
力＝質量×加速度　の両辺に回転半径ｒをかけたあと
加速度＝半径×角加速度
と書き換えれば出てきます。
（ｒの掛け算は本当はベクトル積ですが普通の掛け算で書いています。）

同じ問題を解いているサイトがありました。
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１／２は円盤の慣性モーメントの表現として含まれています。

半径ｒ、質量ｍの円盤を中心を通る面に垂直な軸の周りに回転させるときの慣性モーメントが（１／２）ｍｒ^２であるということです。１／２がなければｍｒ^２になりますね。これは距離ｒの所に質量ｍがあるという場合です。円盤ではなくてリングの場合になります。
１／２がついているということは円盤の場合、中心からの距離がｒ／√２の所に質量が...続きを読む

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Qミラー指数：面間隔bを求める公式について

隣接する２つの原子面の面間隔dは、ミラー指数hklと格子定数の関数である。立方晶の対称性をもつ結晶では

d=a/√(h^2 + k^2 + l^2)　・・・（１）

となる。

質問：「(１)式を証明せよ」と言われたのですが、どうすれば言いかわかりません。やり方を教えてもらえませんか_|￣|○

Aベストアンサー

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
大雑把に言えばミラー指数は法線ベクトルのようなものです。特に立方晶であれば法線ベクトルと全く同じになります。すなわち立方晶の(111)面の法線ベクトルは(1,1,1)ですし、(100)面の法線ベクトルは(1,0,0)です。法線ベクトルなら「ミラー指数」よりずっと親しみがあり解けそうな気分になると思います。

さて(hkl)面に相当する平面の方程式を一つ考えてみましょう。一番簡単なものとして
hx + ky + lz=0　　(1)
があります。(0,0,0)を通る平面で法線ベクトルは(h,k,l)です。
これに平行な、隣の平面の式はどうでしょうか。
hx + ky + lz = a　　(2a)
hx + ky + lz = -a　　(2b)
のいずれかです。これがすぐ隣の平面である理由(そのまた間に他の平面が存在しない理由)は脚注*2に補足しておきました。
点と直線の距離の公式を使えば、題意の面間隔dは原点(0,0,0)と平面(2a)の間隔としてすぐに
d=a/√(h^2+k^2+l^2)　　(3)
と求められます。

点と直線の距離の公式を使わなくとも、次のようにすれば求められます。
原点Oから法線ベクトル(h,k,l)の方向に進み、平面(2a)とぶつかった点をA(p,q,r)とします。
OAは法線ベクトルに平行ですから、新たなパラメータtを用いて
p=ht, q=kt, r=lt　　(4)
の関係があります。
Aは平面(2a)上の点でもありますから、(4)を(2a)に代入すると
t(h^2+k^2+l^2)=a
t=a/(h^2+k^2+l^2)　　(5)
を得ます。
ここにOAの長さは√(p^2+q^2+r^2)=|t|√(h^2+k^2+l^2)なので、これを(5)に代入して
|a|/√(h^2+k^2+l^2)　　(6)
を得ます。OAの長さは面間隔dにほかならないので、(3)式が得られたことになります。

bokoboko777さん、これでいかがでしょうか。

*1 (h, k, l)の組が共通因数を持つ場合には、共通因数で割り互いに素になるようにします。例えば(111)面とは言いますが(222)面なる表現は使いません。
*2 左辺はhx+ky+lzでよいとして、なぜ右辺がaまたは-aと決まるのか(0.37aや5aにならないのは何故か)は以下のように説明されます。
平面をhx+ky+lz = C (Cはある定数)と置きます。この平面は少なくとも一つの格子点を通過する必要があります。その点を(x0,y0,z0)とします。
h,k,lはミラー指数の定義から整数です。またx0,y0,z0はいずれもaの整数倍である必要があります(∵格子点だから)。すると右辺のCも少なくともaの整数倍でなければなりません。
次に右辺の最小値ですが、最小の正整数は1ですから平面hx + ky + lz = aが格子点を通るかどうかを調べ、これが通るなら隣の平面はhx + ky + lz = aであると言えます。このことは次の命題と等価です。
<命題>p,qが互いに素な整数である場合、pm+qn=1を満たす整数の組(m,n)が少なくとも一つ存在する
<証明>p,qは正かつp＞qと仮定して一般性を失わない。
p, 2p, 3p,...,(q-1)pをqで順に割った際の余りを考えてみる。
pをqで割った際の余りをr[1](整数)とする。同様に2pで割った際の余りをr[2]・・・とする。
これらの余りの集合{r[n]}(1≦n≦(q-1))からは、どの二つを選んで差をとってもそれはqの倍数とは成り得ない(もし倍数となるのならpとqが互いに素である条件に反する)。よって{r[n]}の要素はすべて異なる数である。ところで{r[n]}は互いに異なる(q-1)個の要素から成りかつ要素は(q-1)以下の正整数という条件があるので、その中に必ず1が含まれる。よって命題は成り立つ。

これから隣の平面はhx + ky + lz = aであると証明できます。ただここまで詳しく説明する必要はないでしょう。証明抜きで単に「隣の平面はhx + ky + lz = aである」と書くだけでよいと思います。

参考ページ：
ミラー指数を図なしで説明してしまいましたが、図が必要でしたら例えば
http://133.1.207.21/education/materdesign/
をどうぞ。「講義資料」から「テキスト　第３章」をダウンロードして読んでみてください。(pdfファイルです)

参考URL：http://133.1.207.21/education/materdesign/

「格子定数」「ミラー指数」などと出てくると構えてしまいますが、この問題の本質は3次元空間での簡単な幾何であり、高校生の数学の範囲で解くことができます。

固体物理の本では大抵、ミラー指数を「ある面が結晶のx軸、y軸、z軸を切る点の座標を(a/h, b/k, c/l)とし、(h, k, l)の組をミラー指数という(*1)」といった具合に説明しています。なぜわざわざ逆数にするの?という辺りから話がこんがらがることがしばしばです。
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