e^(-x^2)の積分

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質問者：guowu-x
質問日時：2003/06/08 15:18
回答数：1件

e^(-x^2)の積分はどうやったらよいのでしょうか？
どなたか分かる方、よろしくお願いします。

eは自然対数の底でe^(-x^2)=exp{-x^2}

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回答 (1件)

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No.1ベストアンサー

回答者： mmky
回答日時：2003/06/08 16:42

ガウス分布に使いますね。

やりかたですね。一般的なものを参考程度までに、

xy座標の第一象限で原点を通る一辺aの正方形
と正方形に接する半径aの（1/4）円とr半径√2aを考えるんですね。
正方形の領域□でe＾-x＾2　をｘ方向に積分すると、
∫[0→a]e＾-x＾2dx
正方形の領域だからe＾-y＾2 をｙ方向に積分しても
同じ値になりますね。だから
∫[0→a]e＾-x＾2dx=∫[0→a]e＾-y＾2dy
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四角形の領域で
I=∫[x,y:0→a]e＾-(x＾2+y＾2)dxdy
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半径aの(1/4)円では、
極座標変換して、(x＾2+y＾2)=r＾2, dxdy=rdrdθ
=∫[0→a]e＾-(r＾2)dr∫[0→π/2]dθ
=(1/2)(1-e＾-a＾2)(π/2)=(π/4)(1-e＾-a＾2)
同様に、半径√2aの(1/4)円では、
=(π/4){1-e＾-(2a＾2)}
だから、
x:0→a
√{(π/4)(1-e＾-a＾2)}＜∫[0→a]e＾-(x＾2)dx
＜√{(π/4){1-e＾-(2a＾2)}}
が回答ですね。これ以上は数値表を参照ですね。
a→∞ であれば、
∫[0→∞]e＾-(x＾2)dx=(√π)/2
が回答になりますね。
広域積分でも検索すれば参考になるかも。

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この回答へのお礼

丁寧に答えてくださってありがとうございました。

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お礼日時：2003/06/08 18:48

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