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No.3
- 回答日時:
特に決まったルールはないね。
今回の問題の場合、t=cosx, t=sinxのどちらでも計算の手間は同じくらいかな。
三角関数の不定積分は、三角関数の特性から、以下のように異なる積分結果が出ることがある。検算してあっていれば問題ないよ。
t=cosxだと、dt/dx=-sinxより、
∫ sinx cosx dx=-∫ t dt
=(-1/2)t^2 + C
=(-1/2)(cosx)^2 + C
t=sinxだと、dt/dx=cosxより、
∫ sinx cosx dx=∫ t dt
=(1/2)t^2 + C
=(1/2)(sinx)^2 + C
=(1/2)(1 - (cosx)^2) + C
=(-1/2)(cosx)^2 + C + 1/2
=(-1/2)(cosx)^2 + C' (C'=C + 1/2)
倍角の公式を使うやり方だと、
∫ sinx cosx dx=∫ (1/2)sin2x dx
=(-1/4)cos2x + C
=(-1/4)(2(cosx)^2 - 1) + C
=(-1/2)(cosx)^2 + C + 1/4
=(-1/2)(cosx)^2 + C'' (C''=C + 1/4)
どれも全部微分すると、sinx cosxになる。
No.1
- 回答日時:
cosx=tでも行けるはずです
置き方の問題ではなくて別のところにミスがあったのでは
積分はたくさん解いて感を養うことが大切かもしれません
もちろん、この型の積分はこのようにやるというセオリーはありますが
セオリーは参考書などで必ず紹介されていますので
それらを覚えるのも良いです
sinxcosxのような三角関数の積の積分では
三角関数の種々の公式をつかって 積の形を解消するのも有力ですよ
(公式で 積と惜別です!!)
この場合は倍角公式を意識
もしくは積和の公式で
sinxcosx=(1/2)sin2xとしてしまうと
積分が楽なような気がしますが いかがですか?
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