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RdQ(t)/dt + Q(t)/C=E(t)
のとき、E(t)=E0、初期条件でt=0でQ=0として解くと t>0で
Q(t)=CE0(1-e^-t/RC)
が求められる。
まずここの部分がどうゆう計算でこうなるのかわかりません。

また式(1)でE(t)=0、t=0でQ=CE0と置いて(1)を解くと
Vc=-E0e^-t/RC
になるそうですが、意味がわかりません。
どなかた数学にお強い方、お願いします。

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A 回答 (3件)

ご質問の下記式は一階線形微分方程式ですから、公式にあてはめれば解けます。


RdQ(t)/dt + Q(t)/C=E(t)---(1)

上記式で、E(t)=定数、R=定数、C=定数とした場合、
この方程式(1)は下記のようにして解けます。

dQ/dt + Q/CR=E/R---両辺をRで割りました。

e^(t/CR)*dQ/dt + e^(t/CR)*Q/CR=e^(t/CR)*E/R---両辺にe^(t/CR)を掛けました。

d(e^(t/CR)*Q)/dt=(E/R)*e^(t/CR)---左辺を積の微分公式でひとつにまとめました。

e^(t/CR)*Q=(E/R)*(CR*e^(t/CR))+A.---両辺をtで積分しました、Aは積分定数です。

e^(t/CR)*Q=EC*e^(t/CR)+A.---右辺Rを消去

両辺にe^-(t/CR)を掛けて、左辺をQ単独にすると、
微分方程式(1)の解(2)が得られます。

Q=e^-(t/CR)(EC*e^(t/CR)+A).---(2)

---
初期条件t=0, Q=0の場合、
この条件を最後の式(2)に代入すると、
A=-ECが求まります。
これらを式(2)に戻すと、

Q=e^-(t/CR)*EC*(e^(t/CR)-1)

∴Q=EC*(1-e^-(t/CR)).

---
初期条件E=0,t=0,Q=CE0の場合、
この条件を最後の式(2)に代入すると、
A=CE0が求まります。
これらを式(2)に戻すと、

∴Q=CE0*e^-(t/CR).
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>>意味がわかりません


正直意味わかりたいなら数学板よw
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RdQ/dt+Q/C=E …与式
dQ+(Q/CR-E/R)dt=0
積分因子F(t)
FdQ+F(Q/CR-E/R)dt=0
全微分の必要条件
∂(F(Q/CR-E/R))/∂Q=dF/dt
F/CR=dF/dt
dt/CR=dF/F
t/CR=logF

F=exp(t/CR)
与式×上式
(RdQ/dt+Q/C)exp(t/CR)=Eexp(t/CR)
左辺を始関数化
d(RQexp(t/CR))/dt=Eexp(t/CR)
辺々積分
RQexp(t/CR)=∫(Eexp(t/CR))dt+K
一般解を得た
Q=1/R・(∫(Eexp(t/CR))dt+K)・exp(-t/CR)

初期条件E(0)=Eo,Q(0)=0付与
Q=CEo・(1-exp(-t/CR))
初期条件E(0)=0,Q(0)=CEo付与
Q=CEoexp(-t/CR)
Vc=Q/C=+Eoexp(-t/CR)
キルヒホフ則
Vr=E(t)-Vc=-Eoexp(-t/CR)
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