物理学 おそらく剛体の問題です

この問題の解き方が分かりません。教えてください。

長さrの糸のー端に質量mの重りをつけ、 他端をなめらかな水平面上の点Oに固定して、 ー定の半径rのままで点Oを中心にして反時計回りに円運動をさせた。 この重りには空気抵抗がはたらいて、
その大きさは速さに比例、比例定数をkとする。 時刻t=0で重りの速さをv0とし、反時計回りの回転の向きを正とする。

【1】時刻t=0における重りの速さをvと して、 おもりの回転の運動方程式 （dL/dt=N) を書け。
（ただし、LとNは用いないこと）

【2】【1】 の方程式を解き、 時刻tにおける重りの角運動量Lを求めよ。
(ただし, vとNは用いないこと）

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2015/11/22 13:20

運動方程式「dL/dt = N」の、L は角運動量、N はモーメント（トルク）ですね。

角運動量は

　　L = r × mv 　　　（１）

ですから（これが定義ですが、これが分かれば以下の問題はすんなり解けるはず）、この時間変化率は

　　dL/dt = (dr/dt) × mv + r × d(mv)/dt

r は一定なので　dr/dt = 0
よって

　　dL/dt = r × d(mv)/dt
　　　　　= mr × dv/dt 　　　（２）

重りに働くモーメント（トルク）は、空気抵抗だけで、速度 v の逆方向なので

　　N = - r × kv　　　（３）

運動方程式「dL/dt = N」より、（２）と（３）が等しいので、

　　-kv = m * dv/dt

まあ、ニュートンの運動方程式「 F = m*a 」そのものですね。

これを普通に解いて、初期条件を与えれば

　　v = v0 * exp[ - (k/m) t ]

となります。

（１）に代入して

　　L = r*m*v0*exp[ - (k/m) t ]

となります。