A 回答 (3件)
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No.4
- 回答日時:
e^(-At) についても説明が要るかな?
A は、
D =
-1 0
0 4,
P =
1 2
1 -3
と置けば
A = P D (P^-1) と対角化できる。
-At = P (-Dt) (P^-1) なので、
e^(-At) = P e^(-Dt) (P^-1),
e^(-Dt) =
e^t 0
0 e^(-4t).
と書けます。
No.3
- 回答日時:
v =
x
y,
A =
1 -2
-3 2,
b =
e^t
1
と置くと、問題の方程式は
dv/dt = Av + b と書けますよね。
こう書いてしまえば、
一変数の一階線型微分方程式と同じ考え方だと判るのでは?
b = dv/dt - Av の両辺に左から行列 e^(-At) を掛けて
(e^(-At)) b = (e^(-At)) (dv/dt) + (e^(-At))(-A) v
= (e^(-At)) (dv/dt) + { (d/dt)e^(-At) } v
= (d/dt){ (e^(-At)) v }.
t で積分すれば
∫{ (e^(-At)) b }dt = (e^(-At)) v + c ;cは初期条件で決まる定数ベクトル
となって、
v = ((e^(-At))^-1) (∫{ (e^(-At)) b }dt - c)
が解です。
((e^(-At))^-1) は (e^(-At))^-1 の逆行列、
∫{ (e^(-At)) b }dt の積分は成分ごとに行えば ok です。
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