数学の解説お願いします！

【問題】
方程式8x-3y=1 … ① を満たす整数 x，y について考える。
(1)x，y がともに1桁の自然数となるのは x=[ア] ，y=[イ] のときであり、①を満たすすべての整数x，yは x=[ウ]k+[ア]，y=[エ]k+[イ] (kは整数) と表される。

(2) ①を満たす整数x，yで、次の条件を満たすx，yの組の数をNとする。
　　（条件） -7x^2+y^2+2 の値が、ある自然数mの2乗に等しくなる
　 (1)を用いると、等式 -7x^2+y^2+2=m^2 は
　 (k-[オ]+m)(k-[オ]-m)=[カ] と変形される。
　 よって、N=[キ] である。
　 また、条件を満たすx，yの組のうち、xの値が最大であるものは
　 (x，y)=([クケ]，[コサ])

【答え】
x=[ア] ：x=2
y=[イ]：y=5
x=[ウ]k+[ア]：x=3k+2
y=[エ]k+[イ]：y=8k+5
(k-[オ]+m)(k-[オ]-m)=[カ]：(k-2+m)(k-2-m)=5
N=[キ]：N=2
(x，y)=([クケ]，[コサ])：(x，y)=(17，45)

途中式を含めた解説をしていただきたいです…！
宜しくお願いします。

No.2 回答者： yuji3690 回答日時： 2017/01/13 21:46

与式を変形させると、x=(3y+1)/8となる。

ｘが整数なので、3ｙ+1は８の倍数である。
また、y=（8ｘ-1）/3となり、ｙも整数なので、8ｘ-1は３の倍数である。
ｘ、ｙが共に１桁の自然数となる場合、8x-1の最大値はy=9であった場合の27である。
8ｘ-1が27以下となる自然数ｘの値は、1,2,3だけである。
この内8ｘ-1が3の倍数となっているものは、16-1＝15となるx=2だけである。
この時3ｙ＝15なのでｙ＝5である。

また、x=2の時8ｘ-1が3の倍数ということは、ｘが2から3増えても、8（2+3）-1＝（8*2-1）+8・3となり、3の倍数は成立する。
よって、①を満たす全てのｘはｘ＝2+3ｋ＝３ｋ+2　である（ｋは整数）

同様にy=5の時3ｙ+1が8の倍数なので、ｙが5から8増えても成立する。
よって①を満たす全てのｙはｙ＝5+8ｋ＝8ｋ+5である

-7x^2+y^2+2=m^2 は
-7（3ｋ+2）^2+（8ｋ+5）^2+2-m^2＝0となり
（-63+64）k^2+（-84+80）k-28+25+2-m^2＝0
k^2-4k-1-m^2=0
（ｋ-2）^2-5-m^2＝0
((k-2)+m)((k-2)-m)-5=0
(k-2+m)(k-2-m)=5　となる。

これはｋが整数、ｍが自然数である為
ｋ-2+ｍ＞ｋ-2-ｍ　であり、
ｋ-2+ｍ＝-1、ｋ-2-ｍ＝-5　と
ｋ-2+ｍ＝5、ｋ-2-ｍ＝1　の２組のみである。

この時ｘが最大となるのは、ｋが最大となる時であるので、
先ほどの式をそれぞれ解いてみると、
上側はm=2、k=-1となる。
下側はm=2、k=5となる。
よってｋ＝5である時のｘ＝3*5+2＝17、ｙ＝8*5+5＝45　となります。

No.1 回答者： cruelman 回答日時： 2017/01/13 21:18

(1)

①式のxに自然数を順繰りに代入していく。
x=1のとき、yについて解くとyは分数となり不適。
x=2のとき、yについて解くとy=5の整数解が得られる。よってこれが答え。
さて、2組の整数解(x1,y1)、(x2,Y2)について考察する。
①式よりこれらはそれぞれ次の等式を満たす。
8x1-3y1=1
8X2-3y2=1
辺々引いて整理すると
8(x2-x1)=3(y2-y1)
8と3は互いに素なのでx2-x1は3の倍数でありy2-y1は8の倍数である。
これはつまり、xの整数解は3を公差とする等差級数でありyの解は8を公差とする等差級数である。
よって
x=3k+2
y=8k+5

(2)
(1)の解を与えられた等式に代入してkについて整理すると
k^2-4k-1=m^2
両辺に5-m^2を足すと
k^2-4k+4-m^2=5
(k-2)^2-m^2=5
(k-2+m)(k-2-m)=5
k-2+m,k-2-mはそれぞれ整数で右辺が素数の５であることを考慮すると
(k-2+m,k-2-m)は(5,1)(1,5)(-5,-1)(-1,-5)の４通りであることがわかる。
mが自然数であることからk-2+m>k-2-mであるので実際は(5,1)と(-1,-5)の二通りである。
二通りであるというのは、つまりN=2である。
k-2+m=5
k-2-m=1
の連立方程式を解くと
k=5,m=2
k=5を(1)で求めた式に代入して計算すると
x=17,y=45