整式P(x)をx²＋x＋1で割ると余りはx＋1、x－1で割ると余りは11のとき、P(x)をx^3－1

整式P(x)をx²＋x＋1で割ると余りはx＋1、x－1で割ると余りは11のとき、P(x)をx^3－1で割った余りを求めよ、という問題です。条件から
整式P(x)がP(x)＝(x－1)(x²＋x＋1)Q(x)＋ax²＋bx＋c、P(x)＝(x²＋x＋1)Q1(x)＋x＋1とP(1)＝11です。
答えはP(x)＝(x²＋x＋1)Q1(x)＋x＋1でQ1(x)を
Q1(x)＝(x－1)Q2(x)＋aとして代入して整理し
P(1)＝11をつかって余りを求めていました。
ですが、普通に条件からP(1)＝a＋b＋c＝11
あとは2つの式がほしいのですが、x²＋x＋1＝0の解を
もとめてP(x)＝(x²＋x＋1)Q1(x)＋x＋1とP(x)＝(x－1)(x²＋x＋1)Q(x)＋ax²＋bx＋cから式を出そうとすると
めちゃくちゃめんどくさいですが複素数が含まれるしきがx²＋x＋1＝0の2つの虚数解のときでそれぞれ2つの出来ますよね。そして複素数の相当でやろうと思ったんですができますかね？
x^20＋x^15＋1をx²＋1で割った時の余りを求めよという問題で、x^20+x^15＋1＝(x²+1)Q(x)＋ax＋bとあらわせる。x²＋1＝0の解の1つはx＝iだから
代入してi^20＋i^15＋1＝(i^2＋1)Q(i)＋ai＋b
整理すると2－i＝b＋aiとなる
複素数の相当よりa＝－1、b＝2
よって求めるあまりは－x＋2
という問題があったのでできるかなとおもったんですが、計算量がエグすぎたのでできるのか教えてください。

No.1 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/07/04 23:15

その前半の考え方が普通じゃないですかね。

「x²+x+1=0 の解をもとめて」で脱線してしまったようです。
そのやり方は、理論的には単純ですが、
複素の係数計算が面倒になるので、お勧めはできません。

それよりも...
P(x) = (x²+x+1)Q₁(x) + { x+1 } に
Q₁(x) = (x-1)Q₂(x) + r　←これも、いきなり a じゃないはず
を代入した
P(x) = (x-1)(x²+x+1)Q₂(x) + { rx² + (r+1)x + (r+1) } と
P(x) = (x-1)(x²+x+1)Q(x) + { ax² + bx + c } を係数比較して、
Q(x) = Q₂(x),
a = r,
b = r+1,
c = r+1.

これの下３行が、「あとは2つの式がほしい」と言っていた
b = a+1,
c = a+1. です。

これと P(1) = 11 すなわち a + b + c = 11 を併せると、
a, b, c についての三元三連立一次方程式が解けますね。
(r も入れて四元四連立でもかまいませんが。)

この回答へのお礼

すごいですね！！簡単だ！！ありがとうございますm(_ _)m

お礼日時：2021/07/04 23:19