数学2の問題で、x2024乗をx2乗+x+1で割ったときの余りを求めよ、という問題の解説をしてほしい

数学2の問題で、x2024乗をx2乗+x+1で割ったときの余りを求めよ、という問題の解説をしてほしいです。答えは−x−1です。

No.4 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/01/31 13:26

(x^2+x+1)(x-1) = x^3 -1

を利用すると
x^(n+3) = (x^2+x+1)(x-1)(x^n) + x^n
なので
x^(n+3) ÷ (x^2+x+1)の余り = x^n ÷ (x^2+x+1) の余り

つまり、X^2024の次数を３ずつ減らしていっても余りは変わらない。

2024 ÷ 3 の余りは 2 だから
x^2 ÷ (x^2+x+1) のあまり = -x-1 が答え

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2024/01/31 12:13

x²⁰²⁴をx²+x+1で割った時の商をQ(x)、余りをAx+Bとおくと

x²⁰²⁴＝(x²+x+1)Q(x)+Ax+B…①
ここで、x²+x+1＝0…②の解の一つをZとすると
Z²+Z+1＝0
Z³＝-Z²-Z＝1だから
①にZを代入すると
Z²⁰²⁴＝0・Q(x)+Z・A+B
(Z³)⁶⁷⁴・Z²＝ZA+B
Z²＝ZA+B…③
また、Zは②の虚数解で
Z²もまた②の虚数解だから
これらは共役で
Z＝{(-1+√3i)/2}とすると
Z²＝{(-1-√3i)/2}
③は
{(-1-√3i)/2}＝{(-1+√3i)/2}A+B
実部と虚部を比較して
-1/2＝(-A/2)+B
-√3/2＝√3A/2
A＝-1
B＝-1
∴余りは-x-1
このようになりそです

No.2 回答者： 銀鱗 回答日時： 2024/01/31 09:17

その問題の何が分からないのでしょうか。

説明をしてそれを読んで分かったつもりになっても、疑問は解決しませんよ。

ということで、
まずは考え方を明確にするために
　x⁴÷(x²+x+1)　
などの余りがどうなるのかを考えてみることを勧めます。
ｘに１、２、３、４くらいの数字を入れて実際に計算してみましょう。

数字を弄り回せば解けるような問題であっても、それを応用できる理解度が足りないと話にならない問題です。
数式の中の規則性を見出す努力をしてみましょう。
そのために、簡単な式に置き換えて考えるんです。

No.1 回答者： rnakamra 回答日時： 2024/01/31 09:09

(x-1)(x^2+x+1)=x^3-1

を変形して
x^3=(x-1)(x^2+x+1)+1
となります。
x^2024=x^(3*674+2)=x^(3*674)*x^2=(x^3)^674*x^2
={(x-1)(x^2+x+1)+1}^674*x^2
と変形できます。

ここで{...}^674を2項定理を使って展開しますが、(x^2+x+1)を因数に含む項からはx^2+x+1で割った時に割り切れるため余りは出てきません。
これらの項をまとめてq(x)*(x^2+x+1)と置きます。
x^2+x+1を因数に含まない項は1^674=1だけとなります。

x^2024=(x-1)(x^2+x+1)+1}^674*x^2={q(x)*(x^2+x+1)+1}*x^2
=q(x)*(x^2+x+1)*x^2+x^2

x^2024をx^2+x+1で割った余りはx^2をx^2+x+1で割った余りと等しくなります。