高校数学の質問です。 ネットで漁った模試の過去問(?)ですが、解答が見当たらなかったので質問します。

高校数学の質問です。
ネットで漁った模試の過去問(?)ですが、解答が見当たらなかったので質問します。

0<a(1)<1かつ

a(n+1)=(1-a(n))/2 (0<a(n)<1/2のとき)
a(n+1)=a(n)^2 (1/2≦a(n)<1のとき)

で定められる数列｛a(n)｝があり、1項からn項までの和をS(n)とおく。(シグマk=1からnまでのa(k)の和)
このとき、lim(n→∞) ( S(n)/n )を求めよ。

という問題です。
自分は0<a(1)<1/2と1/2≦a(1)<1で場合分けして解きましたが、合ってるかどうかは不明です。
回答をくれた人で早かった人をベストアンサーとします。数式が煩雑になるので途中式はナシで日本語で軽く方針と答えだけ書くだけでOKです。

また、この問題は論証込みで見て簡単でしょうか？

長文失礼しました。

No.1 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2022/02/14 00:05

当然場合分けが必要です。

１．0<a₁<1/2 のとき
　0<a[n]<1/2 ・・・・①
とすると
　1/2<1-a[n]<1 → 1/4<(1-a[n])/2<1/2
となり、帰納法から①が成立。

すると
　a[n+1]=(1-a[n])/2・・・・②
が成り立つが、書き換えて
　a[n+1]-a=(-1/2)(a[n]-a)・・・・③
→ a[n+1]=3a/2-a[n]/2
となる。したがって、a=1/3のとき、②と一致する。

③の解は
　a[n]-a=(-1/2)ⁿ(a₁-a)
とすぐわかる。

すると
　Sn=na+(a₁-a){1-(-1/2)ⁿ⁺¹}/{1-(-1/2)}
　　=na+(2/3)(a₁-a){1-(-1/2)ⁿ⁺¹}
となるから
　Sn/n → a=1/3
となる。


２．1/2<a₁<1 のとき
もし、常に
　1/2<a[n]<1 が成立すると仮定ると
　a[n]=(a₁)²⁽ⁿ⁻¹⁾
となる。すると、a[n] → ０となり、ある自然数Nが存在して、必ず
　a[N+1]<1/2
となる。

まとめると
　a[n]<1 (n=1～N)・・・・・④
n>Nのときは１項の数列となる。

④の部分の和は
　Σ[n=1,N] a[n]<N
なので、Sn/nの成分は <N/n → ０となる。
残りは１項と同じく
　Sn/n → a=1/3
なので、この値となる。

この回答へのお礼

同じになりました！
ありがとうございました

お礼日時：2022/02/14 00:16