高校数学の問題です。 ネットにあった(模試の過去問？)で解答が見つからなく答え合わせがしたいので質問

高校数学の問題です。
ネットにあった(模試の過去問？)で解答が見つからなく答え合わせがしたいので質問します。

zを純虚数でない複素数とする。複素数平面上の3点A(1)、B(z)、C(z^2)を頂点とする△ABCがある。
(1)△ABCが直角三角形となるようなz全体を複素数平面上に図示せよ。
(2)(1)のとき、△ABCの外接円の中心Pの軌跡を複素数平面上に図示せよ。

です。早かった方をベストアンサーとします。途中式は無しで解答のみで良いです。図示は文章で円、(x-1)^2+y^2=4みたいな感じで大丈夫です。
合ってるかわかりませんが自分は(2)で放物線と円が出てきました。
よろしくお願いします。

No.3 ベストアンサー 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/12 12:10

復活した。

３．∠C=90゜のとき
同様にABの中心なので
　( (x²-y²+x)/2, (2xy+y)/2 )
となる。このとき、y²+(x+1/2)²=1/4　なので
　( -y², ±√(1/4-y²) )
つまり
　X=-y², Y=±√(1/4-y²) → Y²=X+1/4
となり、これは放物線となる。このとき
　y≠0 , |y|<1/2
から
　0<X<1/4 , 0<|Y|<1/2

この回答へのお礼

ありがとうございます！
ベストアンサーてす

お礼日時：2021/12/12 12:39

No.2 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/12 11:38

忘れていました。

A:(1,0)

１．∠B=90゜のとき
x=０なので、B:(0,y), C:(-y²,0)
このとき、直角３角形ABCに外接する円の直径はACとなるから、円の
中心はACの中点となる。つまり
　((1+y²)/2, 0)
となる。この軌跡は yをパラメータとする曲線XYで
　X=(1+y²)/2, Y=0
つまり、yは実数の範囲で y≠0　だから
　-∞<X<1/2
の直線となる。


２．∠A=90゜のとき
x=-1 なので、B:(-1,y), C:(1-y², -2y)
同様に、円の直径はBCとなるから、円の中心はBCの中点となる。つまり
　(-y²/2, -y/2)
となる。この軌跡は yをパラメータとする曲線XYで
　X=-y²/2, Y=-y/2 → X=-2Y²
つまり、yは実数の範囲で y≠0　だから (0,0)を除いた放物線になる。

３．∠C=90゜のとき
力尽きました・・・・m(_ _)m

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2021/12/12 00:54

z=(x,y) → z²=(x²-y²,2xy)

１．∠B=90゜のとき
ベクトルAB=(x-1,y)と BC=(x²-y²⁻x,2xy-y) は直交だから「・」を
内積として
　(x-1,y)・(x²-y²⁻x,2xy-y)=0 → x( y²+(x-1)² )=0
したがって
　x=0 or y²+(x-1)²=0 → x=0 or (y=0かつx=1)
ところが、後者はA点なので x=0 のみ。つまり、y軸となる。
確認すると
　z=(0,y), z²=(-y²,0)
となり、B点で直交条件
　(-1,y)・(-y²,-y)=y²-y²=0
を満たしている。ただし、y=0 のときは３角形を作らないので除外。

２．∠A=90゜のとき
同様に、ベクトルAB=(x-1,y)と AC=(x²-y²-1,2xy)は直交だから
　(x-1,y)・(x²-y²-1,2xy)=0 → (x+1)(y²+(x-1)²)=0
となり、上と同様３角形を作るには後者は除外し
　x=-1
のみとなり、A点の直交条件
　(-2,y)・(-y²,-2y)=2y²-2y=0
を満たしている。ただし、y=0 のときは３角形を作らないので除外。

３．∠C=90゜のとき
同様に、ベクトルBC=(x²-y²-x,2xy-y)と AC=(x²-y²-1,2xy) は直交
だから
　(x²-y²-x,2xy-y)・(x²-y²-1,2xy)=0
→ (y²+x²-2x+1)(y²+x²+x)=0
→ (y²+(x-1)²)(y²+(x+1/2)²-1/4)=0

同様に、前者は３角形を作らないので除外できる。したがって
　y²+(x+1/2)²=1/4
となり、(0,-1/2)を中心とする半径1/2の円となる。ただし、これも
３角形を作るという条件から
　y=0 の２点は除外される。

４．
以上をまとめるとBつまり、zは図のような軌跡となる。円と２直線から
２点を除いたもの。

この回答へのお礼

ご回答ありがとうございます！
多分、三角形の成立条件からz≠1、問題文から虚軸は除外ですがそれ以外は同じになりました！
(2)の外心の軌跡はどうなりましたか？
宜しければ教えていただけると幸いです。特に返信がなくてもベストアンサーにはします！

お礼日時：2021/12/12 03:00