等位面について

大学の微分積分の問題を解いているのですが
等位面がいまいちわかりません。
問題はスカラー場Φ＝x^2+y^2+zにおいて
Φ＝0の時とΦ＝1のときの等位面を描きなさいです。

今、大学の図書館で文献を調べたりしたのですが
いまいちわからなく、ネットでも検索したのですが
二次元だと等高線に近いということくらいしか分らなくて
困っています。

No.3 ベストアンサー 回答者： aquarius_hiro 回答日時： 2007/08/10 22:57

こんにちは。

Φ＝x^2+y^2+z

で、Φ一定の面を書きたいわけですよね。
まず、Φ=0について考えます。

幸いにも、z の項が1次なので、

x^2 + y^2 = - z

と移項し、zの値を与えたときの平面上での (x,y) の値を考えます。
zの値が正のときには、(x,y) をどうとっても満たされませんから、そこには等位面はありません。

そこで、zを負として考えます。

するとこれはちょうど (x,y) = (0,0) を中心にした、半径√(-z) の円になりますね。

zがいろいろな値をとるとき、半径√(-z)もそれにつれて変わりながら、円が積み重なって出来上がる曲面が求める等位面です。それが z ≦ 0 の範囲にあります。

もう少し詳しく知るために、こんどは、y=0 の断面で考えます。

すると、等位面の式は、z = - x^2 になりますから、xz平面上で、上に凸な放物線になります。

以上のことあわせて考えると、結論として、上の放物線 z=-x^2 を、z軸を回転軸として回転させてできる曲面になることがわかります。

Φ=1の等位面は、x^2+y^2 = 1-z と変形されるので、上の曲面を z軸正方向に 1 だけずらしたものになります。

No.2 回答者： info22 回答日時： 2007/08/10 16:17

＞手書きで描く際は

＞この図を真似て書けばよいのでしょうか。
普通立体曲面は手書きでは大まかな図しか描きません。
３Dプロットソフトの図面通り書けば図は真っ黒になるだけでしょう。
概形は真似て描けばいいですが、最小限の特徴を表す線以外はできるだけ省いて図を分かりやすくして相手に図の概要が分かりやすく見やすい図に仕上げる必要があります。
Φ=1の曲面はΦ=0の曲面をz軸正方向に1だけ平行移動したものになっています。Φ=0の曲面はz軸の周りに回転対称になっていて上に凸の放物線(z=-x^2)を回転したものです。またｚ軸に垂直な面（つまりxy平面に平行な水平面でカットすれば断面は円になっています）。こういったことを意識しながらそれらしい図を描く必要があります。またxyz軸と曲面の交点の座標（x切片,y切片,ｚ切片）も書き込んでおいた方が良いです。
3軸の方向（とり方）はA#1の図を参考に決めて下さい。
とにかく余分な線を書き込みすぎると図が分かりにくく汚くなりますので注意して下さい。

No.1 回答者： info22 回答日時： 2007/08/10 13:54

ネット上には三次元のプロットができるフリーのソフト

FunctionView
Maxima(wxMaxima)
gnuplot
があります。Googleで検索すればダウンロードサイトがすぐ見つかると思います。
また大抵の大学で数式処理ソフト（数学ソフト）のMaple,Mathematica,Matlabなどのライセンスが導入されていて学生は自由に使えるようになっていると思います（所属大学の先生に聞いてみればどんなソフトが導入されていて学生の利用の方法が分かると思います。）。

大抵のソフトでは
plot3d(-x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2)
plot3d(1-x^2-y^2,x=-2..2,y=-2..2)
などと入力すれば
Φ＝0の時とΦ＝1の時の等位面の曲面のグラフが描けます。
そしてソフトによってやり方が異なりますが、プロットされた3Dプロット画像の像を回転させて色々な方向から観察できます。
表示された画像はレポートで利用できるイメージ画像で保存できます（ソフトにイメージ画像の種類には差があります。bmp,jpeg,png,pdfなど）。
以下プロット例をご覧下さい。
Φ=1の場合FunctionViewでプロット
http://upp.dip.jp/01/img/1006.jpg
Φ=0と1の場合を重ねてMaple10でプロット
http://upp.dip.jp/01/img/1007.jpg

この回答へのお礼

ありがとうございます。
加えて質問なのですが
手書きで描く際は
この図を真似て書けばよいのでしょうか。

お礼日時：2007/08/10 15:27