軌跡の「逆に」の必要性について 数Ⅱの軌跡の問題で最後に「逆に」を書くと思うのですが、これってそれま

軌跡の「逆に」の必要性について

数Ⅱの軌跡の問題で最後に「逆に」を書くと思うのですが、これってそれまでに得られた答えが必用十分条件ではなく必要条件に過ぎないからですよね？つまり、途中で十分性が失われるような式変形をした(0割り、2乗、ルートなど？)。であるならば、途中途中で変数の値の取り得る範囲や除外すべき点をしっかり整理しながら解けば必要十分な変形を維持できて、最後の「逆に」はいらなくなると思うのですが、どうなのでしょうか？

例えば次のように解いた場合は必要十分性を維持できていると言えませんか？

[問題]
実数tが変化するとき、放物線y=x^2-2t^2x+t^4+t^2+1 の頂点の軌跡を求めよ。

[回答]
y=(x-t^2)^2+t^2+1
頂点をP(x,y)とすると、tは実数であることに注意して、
x=t^2 (x≧0)
y=t^2+1 (y≧1)
これらより、求める軌跡は、
y=x+1 (x≧0)


また、ネットに多くあった説明として、
『逆により前の記述では、あくまでもある点P(x,y)が求めた図形上にあるだけで、その図形上の全ての部分に点Pがあるとはわからない』
というのがあるのですが、もしこの点で「逆に」が必要だと考えている方は、次の自分の疑問点にも言及していただきたいです。

[問題]
2で割ると1余り、3で割ると2余る自然数を求めよ。

[回答]
求める自然数をnとすると、題意より、
n=2a+1 かつ n=3b+2 (a,b=0,1,2,……)
よって、次式が得られる
2a-3b=1
この不定方程式を解くと、
a=3k+2, b=2k+1 (k=0,1,2,……)
ゆえに、
n=6k+5 (k=0,1,2,……)


こちらはよくありそうな整数問題で、自分の記憶では「逆に」をつけてる解答は見たことないのですが、十分性の確認は必要ないのでしょうか？

問題こそ違えど、軌跡と同様に、
①求めたいものを文字置きする[P(x,y)、n]
②条件式を立て式変形する[頂点、2,3で割った余り]
と同じ構成に思えます。

長々と申し訳ございません。自分は今、高校生に軌跡を教えているのですが、この質問をされるといつも困ってしまいます。どなたかわかる方いらっしゃいましたら、教えていただけると幸いです。

No.2 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2021/02/22 13:45

確かに、計算の各ステップが必要十分変形ならば、

十分性の確認は不要ではあります。
ただし、そのセンでいくとすると、
変形の各ステップが必要十分であることをいちいち
断らねばならないし、それをやっても尚、最後に
「途中がみな必要十分だから、全体としても必要十分」と
ひとこと書いておかなければダメでしょう。
国語の問題として、「○○だから□□」という文章は
どうしても必要導出に見えてしまうからです。
却って文章量が増えることになってしまうので、むしろ
最後に十分性の一文を入れたほうが簡潔かなと。

この回答へのお礼

BA遅れてしまい申し訳ございません！
ありがとうございました！
また見かけましたら助けていただけると幸いです！

お礼日時：2021/03/31 13:50

No.1 回答者： t_fumiaki 回答日時： 2021/02/22 13:27

軌跡に逆も成立つなんていらないでしょ？

違う関数だって、同じ軌跡を描く事なんて無限にあります。