数学 ２次関数

問題
放物線y=x^2-4ax+2b……①がx軸と異なる2点A，Bで交わっている(ただし，A，Bは定数)。
放物線①の頂点の座標は（2a, -4a^2+2b）
x軸と異なる2点で交わるから b<2a^2
放物線①が点(1/4, 1/16)を通るとき，bをaを用いて表せ。さらに、AB=2√3であるとき、aの値を求めよ。

答え
※画像

答え5行目のa<0、8行目のx=2a±√(4a^2-a)はどのように導かれたのでしょうか？

No.2 ベストアンサー 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/04/09 20:26

図の通り

この回答へのお礼

ありがとうございました。

お礼日時：2023/05/10 21:33

No.1 回答者： yhr2 回答日時： 2023/04/09 20:04

(1/4, 1/16) は①を満たすから

　1/16 = (1/4)^2 - 4a(1/4) + 2b
　　　= 1/16 - a + 2b
→　a = 2b
→　b = (1/2)a　　　　(A)

頂点の座標より
　b < 2a^2
なので、これに代入して
　(1/2)a < 2a^2
→　4a^2 - a > 0
→　a(4a - 1) > 0　　　　　(B)
この不等式を満たすには、かけ合わせて「正」になるのだから
　a > 0 かつ 4a - 1 > 0　(両方とも正)　　　(C)
または
　a < 0 かつ 4a - 1 < 0　(両方とも負)　　　(D)
のいずれかです。

(C)は
　a>0 かつ a>1/4
なので、つまり
　1/4 < a
ということ。

(D)は
　a<0 かつ a<1/4なので、つまり
　a < 0
ということ。

合わせて、(B)を満足する a は
　a < 0 または 1/4 < a
ということ。

これが「5行目」の話。

次に、「x軸と異なる2点で交わる」ということは、その交点のｘ座標は
　y=0
つまり
　x^2 - 4ax + 2b = 0　　　　(E)
の解ということ。
この解は、一般解の公式から
　x = 2a ± √[(2a)^2 - 2b]
　　= 2a ± √(4a^2 - 2b)
ここに (A) を代入して
　　= 2a ± √(4a^2 - a)

要するに (A) を使って
　y = x^2 - 4ax + 2b = x^2 - 4ax + a
　　= [x - 2a - √(4a^2 - a)] [x - 2a + √(4a^2 - a)]
と因数分解できるということ。
（念のために展開してごらん）
「二次方程式の解の公式」って、そういうことなのですよ？

これが「8行目」の話。