放物線y=x^2+a と円x^2+y^2=9について、 連立して、y^2+y-a-9=0 この方程式

放物線y=x^2+a と円x^2+y^2=9について、
連立して、y^2+y-a-9=0 この方程式の判別式D=0のとき、a=-37/4なので、画像のようなときは、D=0でないはずなんですが、絵的にyの解が1つなのでD=0な気がするんですが、僕の考えはどこがまちがっていますか？
絵汚くてすみません。左のは1点で接しています。右のグラフの交点のyは同じ値です。

質問者からの補足コメント

• 放物線と円が2点で接するときのaを求めよ。という問題で、青チャートやyoutubeの動画を見ると、当然のようにD=0のとき としているんですが、質問で貼った画像のようなときはD=0でないということを、瞬時に見分ける方法はあるのですか？

    補足日時：2023/01/29 09:24

• endlessriverさん、思い込みじゃなくて、本当にそう書いてあります、、、

  
    補足日時：2023/01/29 10:24

• endolessriverさん
  元の問題です。これの(1)です。何度もすみません。

  
    補足日時：2023/01/29 10:40

No.12 ベストアンサー 回答者： syotao 回答日時： 2023/02/02 19:03

瞬時に見分けるというか...。

次のように考えたらと思うのだが...。
そのｙの2次方程式の判別式DはD＝4a＋37でこれはaの1次関数かつ
単調増加だからもし仮にあなたの2つの絵のような状態でD=0ならば
放物線を少しだけ下にずらした時つまりaを-37/4より少し小さくした時
にはD＜0なのに2つの曲線はいぜんとして交わったままつまり
yの2次方程式が解をもつ状態ということになり矛盾
したがってD=0になるのは2つの曲線が2点で接する場合しかない。

というのはどうですか？

この回答へのお礼

ありがとうございました！

お礼日時：2023/02/02 19:56

No.11 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/29 21:05

>yの解が1つなのでD=0 といっているわけではありません<

●全然違う。解が1つだから、D=0で、接線となる場合も含む
という、論理だ。

根本的に D=0からは、接線となる、a=3が出てこないし、交
点が１つしかないのに、2つの解が得られてしまう。

つまり、根本的に論法が可笑しい。よしんば、D=0の解を認
めたとしても(すべての場合かわからない)、それが接線共通と
同値ということを示さねばならない。

No.10 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/29 19:53

「

放物線と円が2点で接するときのaを求めよ。
」
という問題の
答え
は
「
yの解が1つなのでD=0
といっているわけではありません
」
放物線と円が共にy軸対称で
放物線と円が2点で接するときなので
D=0
となるといっているのです

y^2+y-a-9=0の判別式D

D>0
a>-37/4
のとき
yの解は
y=-1/2+√(a+37/4)
と
y=-1/2-√(a+37/4)
の
2つあるけれども

-3<a≦3のとき

y=-1/2-√(a+37/4)
に対する
x^2=y-a=-a-1/2-√(a+37/4)
となる
xの解は無いから

y=-1/2-√(a+37/4)
は解にならないから
yの解が1つになるのであって
この場合は
放物線と円が2点で接することはありません

a>3の時 放物線と円は交わらない(D>0)
a=3の時 放物線と円が1点で接する(D>0)
-3<a<3の時 放物線と円が2点で(接しないで)交わる(D>0)
a=-3の時 放物線と円が3点(2点は接しないで1点は接する)で交わる(D>0)
-37/4≦a<-3 放物線と円が4点で(接しないで)交わる(D>0)

↓4点の上下のy座標の差が0に近づきながら

a=-37/4の時　放物線と円が2点で接する(D=0)
a<-37/4の時　放物線と円は交わらない(D<0)

だから

a=-37/4の時　放物線と円が2点で接するとき(D=0)

No.9 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/29 11:49

接するときのaを求むだから、指針にあるように接線が同じ

から解けば素直(#6)。

なお、２か所で接するときと重根の関係が、書いて無いので
(私には)不明というか理解できない(結果はあっているが)。

分かる方がいたら、教えて下さい!!

No.8 回答者： ありものがたり 回答日時： 2023/01/29 11:23

y についての判別式を考えるんだから、xy平面は一旦忘れて

z = y^2 + y - a - 9 を yz平面に図示して、
z = 0, y ≧ a となる y が何個あるか考えたらいいんじゃない？
y = a の解は対応する x が １ 個で交点 1 個に、
y > 0 の解は対応する x が 2 個で交点 2 個に換算される。

円と放物線が接する接しないで考えるのは、
y軸上で接して交点が 3 個になる状況と
他の場所で接して交点が 2 個になる状況が全く異なるから
悪手だと思う。

No.7 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/29 10:37

違います。

元の問題文は何かということです。

だから、ゼンゼン話が通じない。

No.6 回答者： endlessriver 回答日時： 2023/01/29 10:04

質問がゼンゼン整合していない。

yの式の判別式　D=0は、yが1つというだけで、接するという
条件にはならない。思い込みで頓珍漢な推測をしてもしょうが
ない。


接線の話なら、2つの曲線の接線が等しくなるので、2つの曲線
を微分して、y'を等しいとすれば
　y'=2x, 2x+2yy'=0 → 2x(1+2y)=0
→ x=0 or y=-1/2
の2つの場合である。

1.
x=0のときは
　y=a, y²=9 → a=±3
a=3のときは、y=x²+a=3
a=-3のときは、y=-3
いずれにしても、接点は１か所。

2.
y=-1/2のときは
　x²=9-1/4=35/4 → x=±(√35)/2
となって、接点は2か所。ちなみに
　a=y-x²=-1/2-35/4=-37/4

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2023/01/29 09:58

y^2+y-a-9=0の判別式D

D>0
a>-37/4
のとき
yの解は
y=-1/2+√(a+37/4)
と
y=-1/2-√(a+37/4)
の
2つあるけれども

y=-1/2+√(a+37/4)
のとき
x^2+a+1/2-√(a+37/4)=0
だからその
判別式を
D1
とすると
D1=-a-1/2+√(a+37/4)
a>3の時
D1<0だから
xの解は無いから
y=-1/2+√(a+37/4)
は解にならない

y=-1/2-√(a+37/4)
のとき
x^2+a+1/2+√(a+37/4)=0
だからその
判別式を
D2
とすると
D2=-a-1/2-√(a+37/4)
a>-3の時
D2<0だから
xの解は無いから
y=-1/2-√(a+37/4)
は解にならない

D>0
D1≧0
D2<0
のとき
yの解が1つになる

No.4 回答者： stomachman 回答日時： 2023/01/29 09:11

aを大きくしていくと、解の個数が0→2→4→3→2→1→0と変化する。

　　x^2 + y^2 = 9
だとグラフがわかりにくくなっちゃうので、
　　x^2 + y^2 = 1
で描いてみた。
左上は　x^2 + y^2 = 1 と　y = x^2 + a
右上は　f(y) = y^2 + y - a - 1
左下は　g(x) = x^4 + (2a + 1)(x^2) + a^2 - 1
なので交点は f(y)=0, g(x)=0
この場合、f(y)=0の判別式が0になるのは a = -5/4 のときです。

No.3 回答者： tknakamuri 回答日時： 2023/01/29 08:01

質問の図の中にヒントが有ります。

両図形は左右対象だから、yの実解が一つ(重解)でも
xの解が2つある場合があるのは図から明らか。

またyの実解に対し、xも実解になる保証は無い。

つまり交点の数は判別式だけじゃ求まらない。

解のxとyの値を慎重に判別して交点になる解を
調べ尽くさないとだめ。