二次関数の問題です。放物線がx軸と異なる2点A、Bで交わるときのABの求め方がなぜそうなるのかわかり

二次関数の問題です。放物線がx軸と異なる2点A、Bで交わるときのABの求め方がなぜそうなるのかわかりません…自分で解いてみたら違う答えになってしまいました。
どなたか教えて下さいm(_ _)m

No.2 ベストアンサー 回答者： metabolian 回答日時： 2022/04/09 08:06

例えば、x軸上に2点A(3, 0)、B(7, 0)があったら、ABの長さは

7-3=4（① x座標の大きい方から小さい方を引く）あるいは、
|7-3|=4 （② x座標の差の絶対値をとる）
のどちらかで求められます。

今、x^2+ax+3a-5=0の2つの解が
x= (-a ± √(a^2-12a+20) )/2
= (-a ± √D )/2 ※ D= a^2-12a+20
と求められたわけですが、2つのx座標
x= (-a + √D)/2 とx= (-a - √D)/2、
どちらが大きいでしょう？

これらは、x=-a/2 を境目にして
+方向と-方向にそれぞれ 同じ距離√D/2 だけ
離れた点になり、√D/2 > 0 なので、大小関係は
(-a - √D )/2 < -a/2 < (-a + √D )/2
になります。

すると、先ほどと同様に
大きい方から小さい方をひいて
AB = (-a + √D)/2 - ((-a - √D)/2)
= √D/2 + √D/2
= √D= √(a^2-12a+20 )

となります。

この回答へのお礼

ABは点の間の距離のことだったんですね！A×Bのことだと勘違いしていました…わかりやすい解説ありがとうございます！

お礼日時：2022/04/09 09:54

No.3 回答者： masterkoto 回答日時： 2022/04/09 09:39

単に、2交点のx座標の差を計算しただけですよ^-^

大きいほうのｘ座標-小さいほうのx座標　という計算をしているのです
（小さいほう-大きいほう を計算してしまうと、ABがマイナスの値になってしまうので注意）

で、この手の問題では式の見かけをかるくするために
次のようにするのも良いです

2次方程式:Ax²+Bx+C=0
解の公式:x={-B±√(B²-4AC)}/2A
判別式:D=B²-4AC
ですから、解の公式のルートの中身ってDに置き換えてしまえるんですよ
（Ｄと判別式の辺の話に疑問があれば、別の質問スレでも立てて質問してみてくださいませ）
ゆえに解の公式は
x={-B±√D}/2A
⇔x＝(-B/2A)±(√D/2A)・・・①
ともできるわけです

で、ご質問の問題は2交点の差を取る前に解の公式を計算していますが
それは後回しにして　
x²+ax+3a-5=0
の判別式をDとおいて
解の公式Dヴァージョンでまず計算です（←←←ここが式の見かけを軽くするコツ）
①にあてはめて
x=(-a/2)±(√D/2)
→Aのｘ座標・・・(-a/2)-(√D/2) ：小さいほうのｘ座標
Ｂのｘ座標・・・(-a/2)+(√D/2)：大きいほうのｘ座標
Bの座標-Aの座標={(-a/2)+(√D/2)}-{(-a/2)-(√D/2)}
こうしてあげると(-a/2)は相殺されて０になり　√部分だけが残るから
=(√D/2)}-{-(√D/2)}
=(2/2)√D
=√D
(=√{a²-4(3a-5)}　∵D=B²-4AC＝a²-4(3a-5)｝
となるわけです

不幸にして、先に
x={-a±√{a²-4(3a-5)}/2a
を先に計算してしまっても
√部分だけが相殺されずに残るという仕組みは変わらんので
私の解説の差の取り方と同様にして
画像のような結果を得るのです

No.1 回答者： satouhiroshi 回答日時： 2022/04/09 07:42

ルートの中の a²-12a-20 は、(a-10)(a-2) と変形する事が出来ます。

a=10とa=2の時は、ルートの中の値は、ゼロになり、従って、その時のxの値は、a=10の時、x=-10-0=-10で、a=2の時、x=-2-0=-2です。
　なので、この放物線は、x軸とx=-10とx=-2で交わります。この交点をAとBとすると(-10,0)と(-2,0)の距離ABは、8になります。