有限アーベル群の構造定理

雪江代数学1の120ページの赤線の部分が分かりません。
位数最大の元hで生成される群Hでの剰余群G/Hをもってきていますが、なぜhの位数が最大で無ければならないのでしょうか？

No.2 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/07/30 14:06

No.1 は大嘘だったので、陳謝と訂正。

誰もツッコミを入れないのは、なぜだろう？
帰納法に持ち込むだけなら、h は位数が最大でなくても
ただ単位元ではないだけで十分だった。

h を最大位数に取るのは、G = <h>×(G/<h>) と直積分解したいから。
例えば、G = C4 で C4 の生成元が a のとき
h = a^2 としてしまうと、 <h> = C2 が正規部分群で
G/<h> = C2 になるが、 C4 = C2×C2 ではない。
このような事態を避けるため、 h は C4 で位数最大の
h = a または h = a^3 に取る必要があったのだった。

No.1 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/07/28 08:22

赤線の２行下に「帰納法により」ってあるでしょう？

この帰納法は、G の元の最大位数についての下降的帰納法です。
帰納ステップを1回行う毎に h の位数が小さくなっていって、
最後に G が位数 1 の自明群になって終わるように、
h は G の最大位数の元である必要があるのです。