三次関数y=f(x)では、f'(x)=0の判別式D>0となる時に極値を持つことと、 常に単調増加(減

三次関数y=f(x)では、f'(x)=0の判別式D>0となる時に極値を持つことと、
常に単調増加(減少)している時には極値を持たない、ということが結びつきません。
どなたか教えてください。
微分積分の最大最小や極大極小などはルール？というか｢この時にはこうなる｣というものが多すぎて混乱してしまいます…

No.4 ベストアンサー 回答者： tknakamuri 回答日時： 2024/12/21 22:16

f(x) が極値を持つ = f'(x) が x 軸と交差する

f(x) が単調増加(減少)　= f'(x) が x 軸と交差しない

これだけなんだけど、これだけじゃわかりませんか？

No.6 回答者： kairou 回答日時： 2024/12/24 20:59

三次関数が 極値を持つ と言う事は、

「f'(x)=0 となるような 実数の x が存在する」 と言う事です。
その x の値に時の「接線の傾きが 0」になると言う事です。
「接線の傾きが 0」と云う言事は 関数が 増加から減少になるか、
逆に 減少から増加に変わる事を 意味しています。
又、極大極小は 部分的な 最大と最小 の意味です。
「ルールが多すぎる」と感じているようですが、
問題によって 多少に違いがあっても、本質は 同じですよ。
数学は 理解の科目であって、暗記の科目ではありませんから。

No.5 回答者： mtrajcp 回答日時： 2024/12/22 05:30

三次関数

y=f(x)=ax^3+bx^2+cx+d
(a≠0)

f'(x)
=3ax^2+2bx+c
=3a[{x-b/(3a)}^2+(3ac-b^2)/(9a^2)]
=0
の

判別式
D/4=b^2-3ac>0
となる時

f'(x)=0は2つの異なる解α<βを持ち
f'(x)=3a(x-α)(x-β)
だから

a>0のとき
x<αのときf'(x)>0だからf(x)は増加
x=αのときf(x)は極大値f(α)を持つ
α<x<βのときf'(x)<0だからf(x)は減少
x=βのときf(x)は極小値f(β)を持つ
β<xのときf'(x)>0だからf(x)は増加

a<0のとき
x<αのときf'(x)<0だからf(x)は減少
x=αのときf(x)は極小値f(α)を持つ
α<x<βのときf'(x)>0だからf(x)は増加
x=βのときf(x)は極大値f(β)を持つ
β<xのときf'(x)<0だからf(x)は減少

判別式
D/4=b^2-3ac≦0
となる時
-D/4=3ac-b^2≧0
だから

f'(x)
=3a[{x-b/(3a)}^2+(3ac-b^2)/(9a^2)]
=3a[{x-b/(3a)}^2+(-D/4)/(9a^2)]

f'(x)/a=3[{x-b/(3a)}^2+(-D/4)/(9a^2)]≧0

だから

a>0のとき
f'(x)≧0だからf(x)は常に単調増加だから極値を持たない

a<0のとき
f'(x)≦0だからf(x)は常に単調減少だから極値を持たない

No.3 回答者： ありものがたり 回答日時： 2024/12/21 18:48

f'(x)=0 の判別式の正負が判ると、

f(x) の増減表を書くことができるよね。
そのことだけ知ってれば十分じゃない？
あとは、必要があれば実際に増減表を書いてみるだけ。

No.2 回答者： finalbento 回答日時： 2024/12/21 18:14

微分積分に限らず数学の「この時はこうなる」云々はあくまでも「計算した結果そうなる」と言うものですから、最初から結果を覚えようとする必要はありません。

そもそも学習する側にとっての数学の魅力は「絶対覚えないといけない事がほとんどない」と言う事ですから、わざわざ自分から覚える事を増やしにかかるのは愚の骨頂だと思います。

No.1 回答者： endlessriver 回答日時： 2024/12/21 17:29

>三次関数y=f(x)では、f'(x)=0の判別式D>0となる時に極値を持つ<

●全然。y=x³は極値を持つが、D=0 (多分)。

>常に単調増加(減少)している時には極値を持たない<
●3次関数に限らず、自明。ただ、y=0 などは除く。

>微分積分の最大最小や極大極小などはルール？というか｢この時にはこうなる｣というものが多すぎて<
●１つだけど、どんなものがありますか?