半径1の円の面積がπになることを、積分を用いて示せという問題について質問です。この円はy＝√1-x^

半径1の円の面積がπになることを、積分を用いて示せという問題について質問です。この円はy＝√1-x^2とy＝-√1-x^2で囲まれた面積であることはわかるのですが、なぜこのような式になるのかわかりません。なんで引いてるんですか？

No.8 ベストアンサー 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/09 10:52

こんな感じです。

No.7 回答者： ありものがたり 回答日時： 2025/01/09 00:49

a ≦ x ≦ b の範囲で f(x) ≧ g(x) のとき、

y = f(x) と y = g(x) と x = a と x = b で囲まれる図形の面積が
∫[a,b]{ f(x) - g(x) }dx である理由を説明しろ って質問かな？

座標平面に、y = f(x) と y = g(x) の絵を描いてみましょう。
g(x) の a ≦ x ≦ b の範囲での最小値より小さい定数 m をひとつ置いて
F(x) = f(x) - m, G(x) = g(x) - m と置くと、
F(x) - G(x) = f(x) - g(x) ≧ 0 であり、F(x) ≧ 0, G(x) ≧ 0 でもあります。
計算上、 ∫[a,b]{ f(x) - g(x) }dx = ∫[a,b]{ F(x) - G(x) }dx
= ∫[a,b]F(x)d - ∫[a,b]G(x)dx になりますが、
求めたい面積が ∫[a,b]F(x)d から ∫[a,b]G(x)dx をひいたもの
であることは、図形的に明らかでしょう。
こういう、面積を分割したり引き算にしたりする作業って、
算数でさんざんやりましたよね？
この操作は、図形的には、面積を求める図形を y 軸正方向へ
+m 平行移動することに相当します。

あとは、F(x) ≧ 0 のとき
y = F(x) と x軸(y = 0)と x = a と x = b で囲まれる図形の面積が
∫[a,b]F(x)dx であることを見るだけですが、
これを高校教科書の範囲できちんと示すのは無理ゲーです。
これには「積分」の定義が欠かせないのですが、
高校教程では、積分の定義を避けて、微積学の基本定理を逆用して
定義の代用にしてるので、「積分とは何か？」が議論できないんです。
区分求積法を用いて、感情的な説明をすることはできますが、
それは「説明」であって「証明」ではないですね。雰囲気だけだから。
∫[a,b]F(x)dx を「教科書にすら載っている基礎事項」として
許して暗記してしまえば、あとはこの回答前半の
図形の引き算だけの話になります。

No.6 回答者： stomachman 回答日時： 2025/01/09 00:17

> なんで引いてるんですか？

については回答がいっぱいあるんでOKとして、それ以前にですね：
　πは「直径1の円の円周の長さ」だったはず。すなわち、「半径1の円の面積が、直径1の円の円周の長さと等しくなる」ということを証明しろと言ってる問題でしょう。
　さて、写真の式を計算したって、肝心の「なんで直径1の円の円周の長さになるか」を三角関数の性質におっ被せるだけになってしまう。それは循環論法であり、証明にはなっていないんじゃないかなあ。

　証明の概略はこんな風になるんじゃないだろうか：
　半径1の円のの円周の長さは、「直径1の円の円周の長さ」の2倍になることは相似を考えればわかる。つまり2πである。
　曲線の長さは、曲線を近似した折れ線の長さの極限で定義される。また、曲線で囲まれた面積は曲線を近似した閉じた折れ線が囲む面積の極限で定義される。
　そこで、半径1の円に内接する正N角形を考えて、その隣接する2頂点の距離をB[N]とすると、
　　L[N] = N B[N]　　
がこの正N角形の辺の長さ（全長）であり、
　　 lim{N→∞} L[N] = 2π
が円周の長さで、
　　A[N] = N B[N]/2
がこの内接正N角形の面積。ところで、円の面積をSとすると、
　　 lim{N→∞}A[N] = S
になる。（これは円に外接する正N角形の面積とのハサミウチで証明する。）そうすると
　　S = lim{N→∞} N B[N]/2 = lim{N→∞} L[N]/2 = (1/2) lim{N→∞} L[N] = π
　積分を使えというのなら、
　　Δθ = 2π/N
だと思って
　　S = lim{N→∞} L[N] /2 = lim{Δθ→0} L[2π/Δθ]/2 = ∫{0〜2π} (1/2) dθ

No.5 回答者： usa3usa 回答日時： 2025/01/08 23:17

＞なんで引いてるんですか？

f(x)とg(x)の間の距離は　f(x)-g(x) ですよ

今回の例では　
　f(x)＝√(1-x^2)
　g{x}=-√(1-x^2)
ですね。

No4＞下半分は 計算上 マイナスになるから プラスに変えて 足してあるだけ。
「下半分g(x) がマイナスになる」は引き算になることとは無関係ですよ、念の為

No.4 回答者： kairou 回答日時： 2025/01/08 21:36

＞なんで引いてるんですか？

下半分は 計算上 マイナスになるから プラスに変えて 足してあるだけ。
a-(-a)=a+a 。

No.3 回答者： yhr2 回答日時： 2025/01/08 18:17

円の方程式は

　x^2 + y^2 = 1
だから「y = ～」の式にすれば
　y^2 = 1 - x^2
→　y = ±√(1 - x^2)

x 軸の上の部分が
　y = √(1 - x^2)
x 軸の下の部分が
　y = -√(1 - x^2)

従って、ある x (-1 ≦ x ≦ 1) での「円の y 方向の長さ」は
　Δy = √(1 - x^2) - [-√(1 - x^2)]　　←これが手書きの式の積分の中
　　= 2√(1 - x^2)

ということで、x における微小幅 x ～ x + dx の「短冊の面積」は
　dS = Δy × dx = [2√(1 - x^2)]dx

この短冊の面積を、x：-1 → 1 で足し合わせれば円の面積になる。
ただし、この積分は x = sinθ として置換積分しないといけない。


だったら、最初から「微小な扇形の面積」を使って成分した方が簡単。

角度 dθ の「扇形」の面積は、
　円弧の長さ × 半径 × 1/2
（三角形の面積と同じで、底辺の長さが「円弧の長さ」になる）
なので
　dS = (1/2)r･rdθ = (1/2)r^2･dθ

これを θ：0→2π で積分すれば
　S = ∫[0→2π](1/2)r^2･dθ
　　= (1/2)r^2･[θ][0→2π]
　　= πr^2

r = 1 であれば
　S = π

No.2 回答者： masterkoto 回答日時： 2025/01/08 17:43

細かい解説は端折るけど

曲線y＝f(x)とy＝g(x)に囲まれた部分の面積Sは
端的に言って
S＝∫(α→β)｛f(x)−g(x)｝dx
ただし、f(x)≧g(x)、αとβは曲線の共有点(α＜β)　と言うのを、授業で習いませんでしたか？
テキストにも載ってますよ

No.1 回答者： ShowMeHow 回答日時： 2025/01/08 17:38

上の線-下の線

まあ上下は対象だから、　2・（上の線-0）
としても同じだけどね。